Resolver ecuaciones en derivadas parciales

Derivados

Las derivadas , en general, son importantes en cálculo porque nos permiten ver el valor de una función en un punto particular. Las derivadas parciales son muy similares a resolver las derivadas totales porque se aplican las mismas reglas a ambos. Las derivadas totales permiten que cambien todas las variables de una ecuación, mientras que las derivadas parciales solo diferencian una variable a la vez mientras que las otras variables permanecen fijas.

Reglas y notación

La forma más fácil de resolver tanto derivadas parciales como totales es memorizar las reglas de las derivadas de acceso directo o tener a mano un gráfico de las reglas. Algunas de las reglas para resolver ecuaciones derivadas son:

• La regla de la constante : la derivada de una constante es 0
• La regla de la recta : la derivada de nx (una variable de primer orden) es igual a su coeficiente ( n )
• La regla de la potencia : la derivada de x n (cualquier variable a una potencia) es nx ( n -1)
• Regla de los logaritmos : la derivada de ln ( x ) es 1 / x

• Regla de la cadena : la derivada de funciones más complicadas es (derivada de la función exterior dejando solo el interior) x (derivada de la función interior)

Hay muchas más reglas que estas, pero en esta lección, solo veremos estas cinco. Al resolver derivadas parciales, la variable que no se está diferenciando se trata como una constante.

Además, tenga en cuenta que no existe un símbolo uniforme para representar la diferenciación. Aquí hay algunas notaciones que puede encontrar al resolver estas funciones:

Ejemplos de derivadas parciales

Resolvamos un par de ecuaciones:

Encuentre la derivada de esta ecuación con respecto ax: f (x, y) = 6x – 9y³

gl / dx ( x , y ) = 6 x – 9 y³

Como la derivada de 6 x es 6 y – 9 y³ se trata como una constante (cuya derivada es 0), la respuesta es 6

gl / dx ( x, y ) = 6-0 = 6

Veamos la misma ecuación y diferenciamos solo la variable y.

gl / dy ( x, y ) = 6 x – 9 y³

Esta vez, la derivada de 6 x será 0 porque la estamos tratando como una constante. La derivada de -9 y³ es – 27 y² usando la regla de la potencia.

gl / dy ( x, y ) = 0 – 9 (3) y (3-1) = – 27 y²

Ahora, vamos a diferenciar una función más complicada y usaremos la regla de la cadena y la regla del logaritmo. No dejes que la z al principio de la función te desanime. Al usar la regla de la cadena para diferenciar funciones multivariables, debe tener una variable para unir todas las demás variables. En este caso, esa variable es z. Por suerte para nosotros, para diferenciar esta función, la z no entra en juego. Echemos un vistazo a cómo diferenciar la función con respecto a x, luego veremos cómo diferenciarla con respecto a y.

z = f ( x, y ) = ( x² + y³ ) 9 + ln ( x )

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a revisar la información más importante que aprendimos en esta lección sobre derivadas parciales. Las derivadas , en general, nos permiten evaluar el cambio dentro de una función para resolver un problema en un punto particular. Las derivadas parciales solo nos permiten alterar una variable a la vez mientras se mantienen constantes las otras, pero el concepto y las reglas son muy similares a los de las derivadas totales.

También analizamos las siguientes 5 (de las muchas que existen) reglas derivadas en esta lección:

• La regla de la constante : la derivada de una constante es 0
• La regla de la recta : la derivada de nx (una variable de primer orden) es igual a su coeficiente ( n )
• La regla de la potencia : la derivada de x n (cualquier variable a una potencia) es nx ( n -1)
• Regla de los logaritmos : la derivada de ln ( x ) es 1 / x , y

• Regla de la cadena : la derivada de funciones más complicadas es (derivada de la función exterior dejando solo el interior) x (derivada de la función interior)

El uso de estas diferentes reglas de derivadas debería permitirle resolver la mayoría de las ecuaciones de derivadas parciales que se le presenten.