Resolver polinomios de grado superior

Publicado el 22 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Polinomios de grado superior

Entonces, ahora está familiarizado con las ecuaciones lineales, donde tenemos variables sin exponentes, y está familiarizado con las ecuaciones cuadráticas, donde el exponente más alto es un 2. Ahora vamos a pasar a la siguiente. Este grupo en realidad cubre todos los polinomios superiores, por lo que cubre los polinomios de grado 3 y superiores. A estos los llamamos polinomios de grado superior .

Recuerda que el grado de cualquier polinomio es el exponente más alto en ese polinomio. Debido a que se trata de polinomios de grado superior, utilizaremos una técnica diferente para resolverlos. Esta técnica nos permite encontrar nuestras soluciones una a una.

Teorema de las raíces racionales

Esta técnica que usaremos se llama teorema de raíces racionales . Nos dice que las posibles soluciones del polinomio se pueden encontrar en la lista de números generada al poner los factores del último término constante sobre los factores del coeficiente principal.

Terminamos con una lista de fracciones. A veces, estas fracciones se pueden simplificar en números enteros. Debemos recordar que esta es solo una lista de posibles respuestas. No nos da una lista de soluciones. De hecho, es posible que este teorema no proporcione ninguna solución. Pero, dado que los problemas de matemáticas en los libros de texto y en las pruebas se crean para ayudarlo a aprender, lo más probable es que no se encuentre con ese escenario. Lo más probable es que encuentre sus soluciones en la lista. Este teorema le da soluciones racionales; no le dará soluciones imaginarias ni complejas. Por tanto, verá que los problemas le pedirán que encuentre las soluciones racionales de un polinomio.

Echemos un vistazo a cómo usamos este teorema.

Soluciones posibles

Intentemos encontrar las soluciones racionales de este polinomio:

polinomio de grado superior

Primero, crearemos nuestra lista de posibles soluciones. Enumeramos nuestros posibles factores de nuestro último término constante, -24, sobre los factores de nuestro coeficiente principal, 1. Nuestros factores de -24 son +/- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Sí , tenemos una versión positiva y negativa para cada factor. Esto se debe a que podemos multiplicar con la versión positiva o negativa para obtener 24. Por ejemplo, podemos hacer 2 * -12 o -2 * 12 para llegar a -24.

¿Ves cómo cubrimos las versiones positiva y negativa? Nuestro coeficiente principal es 1, por lo que nuestros factores aquí son +/- 1. Nuevamente, tenemos tanto positivo como negativo ya que podemos hacer 1 * 1 o -1 * -1 para llegar a 1.

Ahora que tenemos nuestros factores, encontremos nuestras fracciones. Tenemos +/- 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 6/1, 8/1, 12/1, 24/1. Dado que nuestro denominador es 1, podemos simplificar nuestra lista a +/- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ahora tenemos nuestra lista completa de posibles soluciones racionales.

Encontrar las otras soluciones

Ahora, para encontrar nuestras soluciones, podemos insertar sistemáticamente cada uno de estos números en nuestra solución para ver si nos da una respuesta de 0, o podemos graficar nuestra función para darnos una idea de la ubicación de nuestras soluciones. Entonces, grafiquemos nuestra función. Obtenemos esto para nuestro gráfico:

polinomio de grado superior

Nuestro polinomio es de grado tres, por lo que estamos buscando un total de tres soluciones. Vemos que nuestras soluciones pueden estar en 4, -2 y -3. Vemos que estos números están incluidos en la lista que hemos creado. Comprobemos dos veces para ver si estas son las soluciones.

Conectamos estos números uno por uno en nuestra función para ver si es igual a 0. Obtenemos:

  • 4 ^ 3 + 4 ^ 2 – 14 * 4 – 24 = 64 + 16 – 56 – 24 = 0. 4 se comprueba como una solución.
  • (-2) ^ 3 + (-2) ^ 2 – 14 * -2 – 24 = -8 + 4 + 28 – 24 = 0. -2 también verifica. De acuerdo, última comprobación.
  • (-3) ^ 3 + (-3) ^ 2 – 14 * -3 – 24 = -27 + 9 + 42 – 24 = 0. Todo está bien.

Entonces nuestras soluciones son 4, -2 y -3.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Aprendimos que los polinomios de grado superior son polinomios de grado tres o superior. Para resolverlos usamos el teorema de las raíces racionales , que nos dice que las posibles soluciones del polinomio se pueden encontrar en la lista de números generada al colocar los factores del último término constante sobre los factores del coeficiente principal.

Recordamos que esta es solo una lista de posibles soluciones, no es una lista de soluciones. Una vez que tenemos esta lista, podemos graficar nuestra función para darnos una idea de qué números verificar para ver si son soluciones. Para verificar un número y ver si es una solución, lo conectamos a nuestra función para ver si produce una respuesta de 0.

Los resultados del aprendizaje

Una vez finalizada esta lección, debería poder:

  • Identificar un polinomio de mayor grado
  • Recuerde el teorema de las raíces racionales
  • Calcule las soluciones a un polinomio de mayor grado usando dos métodos

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