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Resolver triángulos rectángulos usando trigonometría y el teorema de Pitágoras

Publicado el 22 noviembre, 2020

Aplicación práctica del teorema de Pitágoras

Estás jugando un dogleg a la izquierda en el golf (un hoyo que se dobla unos 90 grados hacia la izquierda). Podrías ir a lo seguro y golpearlo corto en la calle. O puede intentar golpearlo sobre los árboles hacia el green. El problema es que no sabes qué tan lejos está.


Un agujero que ilustra el uso del teorema de Pitágoras
Un agujero que ilustra el uso del teorema de Pitágoras

Lástima que no prestaste más atención en la clase de matemáticas. Si lo hiciera, sabría cómo usar el Teorema de Pitágoras para ayudarlo a tomar esta decisión. Pero primero, una revisión de algunos conceptos básicos.

Triángulos rectángulos

Los ángulos rectos ocupan un lugar sagrado en matemáticas. Sin embargo, antes de entrar en el teorema del triángulo rectángulo más utilizado, primero es necesario comprender algo de terminología básica del triángulo rectángulo.


Ilustración del teorema de Pitágoras
Ilustración del teorema de Pitágoras

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y siempre es el lado más largo del triángulo. La letra ‘c’ suele representar su longitud, como vemos en el diagrama. Los otros dos lados se llaman piernas y sus longitudes generalmente se representan con las letras ‘a’ y ‘b’. Lo interesante (y útil) de los triángulos rectángulos es que si eleva al cuadrado la longitud de la hipotenusa (c), será igual al cuadrado del cateto ay el cuadrado del cateto b sumados. Esto está representado por la famosa ecuación, a 2 + b 2 = c 2 , también conocida como el Teorema de Pitágoras.

Como conocemos las longitudes de los dos catetos, podemos usar esa información para encontrar la hipotenusa (es decir, la distancia para trasladar los árboles en nuestro problema de golf). Sin embargo, antes de llegar allí, hagamos una revisión rápida de la resolución de variables cuadradas.

Resolver variables cuadradas

Al resolver ecuaciones, siempre hacemos la operación opuesta para ‘deshacernos’ de cualquier cosa en el lado de la variable. Para resolver x – 16 = 1, sumamos 16 a cada lado, lo que nos da 17. En el lado izquierdo de esa ecuación, sumar 16 elimina el 16 (ya que -16 + 16 = 0). En el lado derecho, 1 + 16 = 17. De manera similar, para resolver x / 4 = 2, multiplicamos cada lado por 4, lo que nos da una solución de 8. Para resolver problemas con variables cuadradas, la operación opuesta de cuadrado es raíz cuadrada. Veamos eso en acción.

El sentido común nos dice que para la ecuación x 2 = 9, la solución para x es 3 (en realidad es +/- 3, pero no vamos a preocuparnos por el -3 en esta lección, ya que estamos tratando con longitudes, que siempre son positivas). ¿Cómo encontrar esta solución? Simple: simplemente realice la operación opuesta, raíz cuadrada a cada lado. La raíz cuadrada de x 2 es x, y la raíz cuadrada de 9 es 3. Esta habilidad es necesaria en los problemas del Teorema de Pitágoras.

Encontrar una hipotenusa

Considere un triángulo rectángulo con catetos de longitud 3 y 4. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa?


Triángulo rectángulo con catetos 3 y 4
Triángulo rectángulo con catetos 3 y 4

Las piernas son los lados ay b. Conectando a la ecuación, vemos:

a 2 + b 2 = c 2

3 2 + 4 2 = c 2

9 + 16 = c 2

c 2 = 25

re

c = 5

La longitud de la hipotenusa es 5.

Encontrar una longitud de pierna

Considere un triángulo rectángulo con un cateto de 10 y una hipotenusa de 26. ¿Cuál es la longitud del otro cateto?


Triángulo rectángulo con cateto de 10 e hipotenusa de 26
Triángulo rectángulo

Bueno, primero probablemente deberíamos cambiar la ecuación para aislar una de las longitudes de las piernas. No importa qué letra usemos para el tramo corto o el tramo largo. Por ahora, diremos que estamos tratando de encontrar un . Si a 2 + b 2 = c 2 , entonces a 2 = c 2b 2 . Conectando los números:

a 2 = c 2b 2

a 2 = 26 2 – 10 2

a 2 = 676 – 100

a 2 = 576

re

a = 24

La longitud de la pierna que falta es 24.

Inverso del Teorema de Pitágoras

También podemos usar el Teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo. Esto puede ser útil para alguien que está construyendo algo y quiere asegurarse de tener un ángulo cuadrado integrado. Para hacer esto, simplemente ingrese todos los números en la ecuación para asegurarse de que sean verdaderos. Por ejemplo, una rampa que se está construyendo tiene lados de 36 pies, 48 ​​pies y 60 pies de largo. ¿Es un triángulo rectángulo?


Triángulo 36-48-60
Triángulo 36-48-60

Sabemos que 60 es c , la supuesta hipotenusa, porque es la longitud más larga, que siempre es la hipotenusa.

¿36 2 + 48 2 = 60 2 ?

1296 + 2304 = 3600?

3600 = 3600

Dado que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la supuesta hipotenusa, sabemos que esto se ajusta a la ecuación del Teorema de Pitágoras y, por lo tanto, es un triángulo rectángulo.

De vuelta al problema del golf

Bien, veamos.


Un agujero que ilustra el uso del teorema de Pitágoras
Un agujero que ilustra el uso del teorema de Pitágoras

Las piernas (mi primer tiro para bandeja y mi segundo tiro para acercarme al green) son 220 y 165 yardas. Conectando esto,

a 2 + b 2 = c 2

220 2 + 165 2 = c 2

48400 + 27255 = c 2

c 2 = 75625

re

c = 275 yardas

La distancia a través de los árboles desde el tee hasta el hoyo es de 275 yardas. Deberías ir a por ello.

Resumen de la lección

El Teorema de Pitágoras es una fórmula específica para triángulos rectángulos. Se dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de (lado de la hipotenusa c ) longitud es igual a la suma de las dos piernas (lados una y b ) longitudes al cuadrado. Matemáticamente, esto es a 2 + b 2 = c 2 . Ya sea que sepamos las longitudes de ambos catetos o de un cateto y la hipotenusa, podemos encontrar el lado que falta usando esta ecuación. También podemos determinar si una forma dada es un triángulo rectángulo conectando las longitudes de sus lados en esta ecuación para ver si resulta un enunciado verdadero.

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