Simplificando expresiones racionales con factorización

Expresiones racionales

Suponga que está en una reunión de trabajo trabajando en un problema para su jefe. Usted y un compañero de trabajo están trabajando juntos en el problema de encontrar una expresión para representar algunos datos que se utilizarán para maximizar las ganancias de la empresa. Obtienes una solución de (2 x + 4) / 2 x . Al mismo tiempo, su compañero de trabajo dice que encontró una solución de ( x + 2) / x . ¿Quién de ustedes tiene razón?

Resulta que ambos lo son, y tiene que ver con simplificar expresiones racionales usando factorización. Hay dos cosas involucradas en la simplificación de expresiones racionales usando factorización: ¡expresiones racionales y factorización! Entonces, antes de pasar al proceso real, primero asegurémonos de estar familiarizados con ambos conceptos, comenzando con expresiones racionales.

En matemáticas, una expresión racional es básicamente una expresión algebraica dividida por una expresión algebraica. Por ejemplo, las dos soluciones que se les ocurrió a usted y a su compañero de trabajo son expresiones racionales porque ambas tienen una expresión algebraica dividida por una expresión algebraica. En la imagen, vemos algunos ejemplos más de expresiones racionales.

Bueno, eso es bastante sencillo. Ahora, echemos un vistazo a la factorización.

Factorización

Es posible que esté familiarizado con el hecho de que cuando multiplicamos dos cosas juntas para encontrar su producto, las llamamos factores . A veces, se nos da un producto y queremos encontrar los dos factores que necesitamos multiplicar para obtener ese producto. A esto se le llama factorización .

En términos más simples, considere factorizar un número. Por ejemplo, considere el número 6. Para factorizar el número 6, simplemente queremos averiguar qué números multiplicamos para obtener 6. Bueno, podemos multiplicar 1 * 6 para obtener 6, o podríamos multiplicar 2 * 3 para obtener 6. Ambos representan una factorización de 6.

De manera similar, podemos factorizar expresiones algebraicas. Por ejemplo, considere el numerador de su solución de trabajo, 2 x + 4. Esto es en realidad un producto de dos factores. Para encontrar estos factores, vamos a reconocer que 2 x + 4 también se puede escribir como 2 x + 2 * 2. Observe que ambos términos tienen un factor de 2. De hecho, podemos sacar esos dos para obtener 2 ( x + 2). Al hacer esto, hemos factorizado 2 x + 4 para obtener 2 ( x + 2).

Hay muchas formas diferentes de factorizar expresiones algebraicas, y cada uno de esos procesos podría ser una lección en sí mismos. Por lo tanto, en esta lección, nos ceñiremos a ejemplos simples que involucran factorización, y las factorizaciones de expresiones se darán en diferentes ejemplos. ¡Ahora, vayamos a lo bueno! Es hora de estudiar la simplificación de expresiones racionales mediante factorización.

Simplificar expresiones racionales usando factorización

Bien, sabemos qué son las expresiones racionales y sabemos qué es la factorización, ¡así que vayamos a eso! Probablemente esté familiarizado con la simplificación de fracciones. Por ejemplo, la fracción 2/4 se puede simplificar a 1/2, porque podemos reescribir 2/4 como 2 * 1/2 * 2, y luego cancelar el factor común de 2 que está en el numerador y denominador.

Eso no es tan difícil, ¿verdad? Bueno, ¡tengo buenas noticias! Simplificar expresiones racionales es exactamente el mismo proceso que simplificar fracciones, ¡así que no hay necesidad de dejarse intimidar por ello! Al simplificar expresiones racionales usando factorización, usamos los siguientes pasos:

1. Factoriza el numerador y el denominador tanto como sea posible.
2. Cancela cualquier factor que esté tanto en el numerador como en el denominador. El resultado es su expresión simplificada.

Consideremos nuevamente el ejemplo de trabajo para poner en práctica estos pasos. Se le ocurrió la solución (2 x + 4) / 2 x . El primer paso para simplificar esto usando la factorización es factorizar el numerador y el denominador tanto como sea posible. Bueno, factorizamos el numerador antes para obtener 2 x + 4 = 2 ( x + 2), y el denominador ya está factorizado tanto como sea posible. El siguiente paso es cancelar cualquier factor que esté tanto en el numerador como en el denominador. Vemos que hay un 2 tanto en el numerador como en el denominador que podemos cancelar.

Todos juntos, tenemos que (2 x + 4) / 2 x = ( x + 2) / x . Al simplificar nuestra respuesta utilizando factorización, vemos que nuestra solución y la solución de nuestros compañeros de trabajo son la misma y que ambos estábamos en lo correcto.

Veamos algunos otros casos de uso de estos pasos para simplificar expresiones racionales usando factorización. La imagen muestra nuestros ejemplos anteriores de expresiones racionales que se llevan a cabo a través de estos pasos para simplificarlos.

Agregamos los valores restringidos de x al final de cada simplificación para dar cuenta de los valores de x que crearían un denominador cero en la expresión original.

Resumen de la lección

Una expresión racional es una expresión matemática que contiene una expresión algebraica dividida por otra expresión algebraica. Podemos simplificar expresiones racionales usando factorización. Factorizar es el proceso de encontrar dos factores que componen un producto. Para simplificar expresiones racionales usando factorización, seguimos estos pasos:

1. Factoriza el numerador y el denominador tanto como sea posible.
2. Cancela cualquier factor que esté tanto en el numerador como en el denominador. El resultado es su expresión simplificada.

Simplificar las expresiones racionales de esta manera puede resultar muy útil para mantener el trabajo organizado y lo más simple posible. También es un buen proceso de conocer para facilitar la comunicación cuando se trabaja con alguien en un problema, como vimos en nuestro ejemplo de trabajo inicial. Afortunadamente, el proceso en sí no es demasiado difícil si lo damos paso a paso.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador