Sumas de Riemann: fórmula y concepto

Sumas de Riemann

Repasemos un poco de antecedentes para llevarnos a la fórmula de las sumas de Riemann . Veamos cualquier función continua antigua (sin espacios), desde a (el valor más a la izquierda de x ) a b (el valor más a la derecha de x ) en un gráfico, como la siguiente imagen.

Suponga que queremos encontrar el área entre el eje x y la gráfica de la función. A menudo escuchamos que se llama área debajo de la curva , pero cuando la curva cae por debajo del eje x , el área está por encima de la curva, como puede ver en estos gráficos.

Este podría ser el patrón de una terraza artística en mi patio trasero, o podría ser el área de una parcela de tierra delimitada por un río. La topografía ha sido una habilidad importante desde que la gente ha sido propietaria de la tierra. A los griegos se les ocurrió algo no muy diferente de este método, pero nunca lo convirtieron en una fórmula agradable como hizo Bernhard Riemann en el siglo XIX. Dejando de lado todo este asunto, la gran recompensa de las sumas de Riemann es que nos lleva al concepto y cálculo de integrales , que es una parte importante del cálculo.

Mire los rectángulos azules en el gráfico en la esquina superior izquierda. El área de esos cuatro rectángulos azules estaría más cerca del área debajo de la curva que una suposición salvaje, pero no muy cerca. ¿No estarían más cerca los rectángulos rojos en el gráfico del lado superior derecho? ¿Qué hay de los verdes? ¿Los amarillos?

Fórmula

Como puede ver, podemos acercarnos cada vez más al área entre la curva y el eje x dibujando rectángulos cada vez más pequeños que toquen la curva. Dividimos el área por puntos a lo largo del marcado x eje y que marcará fuera el intervalo entre una y b en n segmentos. En nuestra imagen, n es 4 para los rectángulos azules, 8 para los rojos, 16 para los verdes y 32 para los amarillos. El ancho de cada pequeño rectángulo es ( b – a ) / n , ya que b – a es la longitud del intervalo que estamos viendo, y lo estamos dividiendo en npiezas. La altura del rectángulo es el valor de la función en el punto superior del intervalo, que es a + ( b – a ) / n para el primer rectángulo, a + 2 ( b – a ) / n para el segundo rectángulo, y así. Cuando los sumamos, tenemos la fórmula:

Recuerde, el símbolo Σ representa una suma: en este caso, es la suma de estos pequeños rectángulos a medida que contamos desde el primero hasta el último, que llamamos el n- ésimo (ya que tenemos n rectángulos pequeños) .

Hagamos un problema simple. El área debajo de la línea f ( x ) = x es un triángulo. Si lo evaluamos de 0 a 4, podemos usar la fórmula del área de un triángulo para obtener el área de ½ BH = ½ (4) (4) = 8. Sin embargo, supongamos que no sabemos esto, e intente usar sumas de Riemann. Primero, dividiremos el intervalo en cuatro subintervalos, obtendremos sus áreas y las sumaremos:

Dado que el área de un rectángulo es simplemente la base por la altura, tenemos S = 4 + 3 + 2 + 1 = 10. Eso es demasiado alto, pero está en el estadio. ¿Qué pasa si dividimos el intervalo en 8 subintervalos?

Ahora la base de cada rectángulo es ½, por lo que tenemos (1/2) (4) + (1/2) (3.5) + (1/2) (3) + (1/2) (2.5) + (1 / 2) (2) + (1/2) (1,5) + (1/2) (1) = 2 + 1,75 + 1,5 + 1,25 + 1 + 0,75 + 0,5 = 8,75. ¡Todavía demasiado alto, pero más cerca! ¿Qué tal 16 pequeños rectángulos delgados?

Ahora tenemos la suma de (0.25) (4) + (0.25) (3.75) + (0.25) (3.5) +. . . + (0.25) (0.5) + (0.25) (0.25), y todo esto suma 8.5. ¿Puedes creer que bajaríamos a 8 si seguimos haciendo los rectángulos más delgados?

Resumen de la lección

Las sumas de Riemann nos dan una forma de medir el área debajo de un gráfico creando (o imaginando) rectángulos cada vez más estrechos que tocan el gráfico a intervalos cada vez más cercanos. Ya que sabemos cómo encontrar el área de un rectángulo, simplemente podemos sumarlos, y cuanto más estrechos se vuelven, más nos acercamos al área verdadera. Este método puede ayudarnos a encontrar el área de formas curvas, pero también es un paso en la dirección del cálculo integral.

Lección de un vistazo

El uso de pequeños rectángulos para medir el área debajo de un gráfico se atribuye a las sumas de Riemann. Sumar el área de cada uno de estos pequeños rectángulos proporcionará un resultado más preciso del área debajo del gráfico.

Resultado de aprendizaje

Como resultado de estudiar esta lección, es más fácil hacer cosas como usar la fórmula de las sumas de Riemann para medir el área debajo de una gráfica.