Las cofunciones en trigonometría son pares de funciones como seno y coseno. En esta lección, definiremos las cofunciones trigonométricas comunes y usaremos ejemplos para mostrar cómo se usan.
Cofunciones
Tú y el mundialmente famoso pero imaginario Cosinius Matham habéis decidido ser coautores de un emocionante guión de aventuras repletas de trigonometría. Esta no será su película de matemáticas básica y su escritura será complementada por Cosinius. Para cualquier ángulo de trama que sugiera, Cosinius escribirá un ángulo complementario. En esta lección, analizamos las funciones trigonométricas y los ángulos complementarios. Me pregunto quién coprotagonizará esta película épica.
Coseno y seno
Las palabras ‘coautor’ y ‘costar’ comienzan con el prefijo ‘co’. Lo mismo ocurre con las palabras «cofunción» y «complementario». En matemáticas, dos ángulos son complementarios si suman 90 o . Por ejemplo, 40 o y 50 o son complementarios. Tenemos tres funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente. Hay una ‘co’ al comienzo de la palabra ‘coseno’ que sugiere algo especial sobre el coseno y el seno: son cofunciones . ¿Recuerdas esos ángulos complementarios de 40 o y 50 o ? El coseno de 40 o es igual al seno de 50 o . Compruébalo con tu calculadora. Cos (40 o ) = .766 y sen (50 o ) = .766. ¿Qué pasa con el seno de 31 o ? Veamos, 31 o más ¿qué ángulo es igual a 90 o ? Otra forma de pensar en esto es 90 – 31 es 59. ¡Ajá! sin (31 o ) debe ser igual a cos (59 o ). Tiempo para una comprobación de calculadora: sin (31 o ) = .515 y cos (59 o ) = .515. ¡Comprueba de nuevo! En lugar de un ángulo específico, usemos θ. Si uno de los ángulos es θ, el ángulo complementario es 90 o – θ. Esto es genial porque θ más el otro ángulo, 90 o – θ, se suman para ser igual a θ + (90 o – θ) = 90 o . Es hora de escribir dos ecuaciones: 1. pecado (θ) = cos (90 o – θ) 2. cos (θ) = sin (90 o – θ) La primera ecuación tiene sentido mirando un triángulo rectángulo.
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Un triángulo tiene tres ángulos. La suma de los tres ángulos es 180 o . En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos es de 90 o, dejándonos con otros 90 o para dar cuenta. Si uno de esos ángulos es θ, el otro ángulo debe ser 90 o menos θ. Recordando el acrónimo ‘SohCahToa’, el seno es el lado opuesto sobre la hipotenusa (el ‘Soh’) mientras que el coseno es el adyacente sobre la hipotenusa (el ‘Cah’). En la figura, el lado opuesto al ángulo θ es a y la hipotenusa es c, lo que significa sin (θ) = opuesto / hipotenusa = a / c . ¿Qué pasa con el ángulo 90 o – θ? El lado adyacente al ángulo 90 o – θ es un significado cos (90 o – θ) = adyacente / hipotenusa = a / c . Tenemos aire acondicionado en ambos casos. Con un triángulo rectángulo y las definiciones de seno y coseno hemos mostrado sin (θ) = cos (90 o – θ). De manera similar, la segunda ecuación se puede verificar mostrando que tanto cos (θ) como sin (90 o – θ) son iguales ab / c .
Ejemplo 1
Si cos (49 o ) = sin (θ), ¿qué es θ? Pensando en esto: el coseno y el seno son cofunciones; el prefijo ‘co’ nos recuerda complementario. Buscamos dos ángulos que sumen 90 o . Dado que 49 o es uno de los ángulos, el otro ángulo, θ, es 90 o – 49 o = 41 o . Entonces, cos (49 o ) = sin (41 o ). Verificando esto con una calculadora, cos (49 o ) = 0,656 sin (41 o ) = 0,656 Cosinius Mathma necesita más personajes para la película. ¿Otras cofunciones?
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Cotangente y tangente
Como habrás adivinado, la cotangente y la tangente son cofunciones. Dándonos: 3. tan (θ) = cot (90 o – θ) 4. cot (θ) = tan (90 o – θ) Algunos datos sobre la tangente y la cotangente:
- tangente = seno / coseno
- cotangente = 1 / tangente = coseno / seno
Tan (θ) es sin (θ) / cos (θ). Usando las ecuaciones de cofunción para seno y coseno: sin (θ) / cos (θ) = cos (90 o – θ) / sin (90 o – θ). Pero coseno / seno es cotangente dando cos (90 o – θ) / sin (90 o – θ) = cot (90 o – θ). Por lo tanto, tan (θ) = cot (90 o – θ).
Ejemplo 2
cot (θ) = tan (105 o ). ¿Qué es θ? La tangente y la cotangente son cofunciones que significan θ más 105 o es igual a 90 o . Entonces, θ = -15 o . Cheque: bronceado (105 o ) = -3,732 cuna (-15 o ) = -3.732 Si su calculadora no tiene un botón de cotangente, puede calcular cot (-15 o ) como 1 / tan (-15 o ). ¿Más cofunciones trigonométricas? ¿Qué pasa con la cosecante y la secante? Me pregunto cuál será el papel de la cosecante y la secante.
Cosecante y secante
El recíproco de cada función trigonométrica fundamental da uso a una función trigonométrica adicional. La cotangente es 1 / tangente. Pero la cosecante no es 1 / secante. Cosecante es 1 / seno y secante es 1 / coseno.
- cotangente = 1 / tangente
- cosecante = 1 / seno
- secante = 1 / coseno
¿La cosecante y la secante pertenecen a la familia de las cofunciones? Para responder, comience con sec (θ) y muestre: 5. seg (θ) = csc (90 o – θ) Una forma de mostrar la ecuación 5 es comenzar con cos (θ) = sin (90 o – θ) Luego, tome los recíprocos de ambos lados. El recíproco de cos (θ) es sec (θ). El recíproco de sin (90 o – θ) es csc (90 o – θ). Por lo tanto, sec (θ) = csc (90 o – θ). La sexta ecuación: 6. csc (θ) = seg (90 o – θ) Para mostrar esta ecuación, comience con sin (θ) = cos (90 o – θ) y tome los recíprocos de ambos lados.
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Ejemplo 3
Si 1 / cos (θ) = csc (30 o ), ¿cuál es θ? Solo una pequeña variación en este ejemplo. Dado que el coseno es 1 / secante, entonces 1 / coseno es secante. El problema podría haber dicho: si sec (θ) = csc (30 o ), ¿qué es θ? Secante y cosecante son cofunciones. Así, los ángulos son complementarios: θ y 30 o suman 90 o . De acuerdo, θ es 60 o .
Resumen de la lección
Las tres funciones trigonométricas fundamentales son seno, coseno y tangente. El recíproco de cada función trigonométrica fundamental nos da cosecante, secante y cotangente. Estas seis funciones se pueden organizar por parejas. El prefijo ‘co’ vincula seno con coseno, tangente con cotangente y secante con cosecante. Estos pares se denominan cofunciones . Las cofunciones están vinculadas a través de ángulos complementarios . Dos ángulos son complementarios si suman 90 o . Esto proporciona 6 ecuaciones de cofunción: 1. pecado (θ) = cos (90 o – θ) 2. cos (θ) = sin (90 o – θ) 3. tan (θ) = cot (90 o – θ) 4. cot (θ) = tan (90 o – θ) 5. seg (θ) = csc (90 o – θ) 6. csc (θ) = seg (90 o – θ)
