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Aplicación del método de Euler a ecuaciones diferenciales

Publicado el 24 noviembre, 2020

Ecuaciones diferenciales

En algún momento de su vida, es posible que se encuentre resolviendo una ecuación diferencial. Puede ser en el trabajo como científico o ingeniero, o mientras trabaja en un problema de tarea.

Una ecuación diferencial es aquella que tiene derivadas o los puntos de una gráfica donde cambia una función. Se resuelve una ecuación diferencial mediante la búsqueda de todos los x y Y los valores que hacen que la ecuación sea verdadera; trazar estos puntos en una gráfica xy conduce a una curva, o la solución.

A veces podemos identificar la función de la curva, que se llama solución analítica . En otras ocasiones, la solución analítica es difícil o imposible de encontrar. En estos casos, podemos usar un método numérico para encontrar algunos puntos en la curva o cerca de ella. En esta lección, exploraremos el método numérico llamado método de Euler .

Receta para el método de Euler

Al resolver una ecuación diferencial, necesitamos un lugar para comenzar, o una condición inicial : el valor de y lo llamamos y o cuando x es igual a x o .


Condición inicial o punto de partida
Tener_un_lugar_para_iniciar_es_esencial

Ahora necesitamos una dirección para el siguiente punto. ¡Entra en cálculo!


La derivada apunta en la dirección correcta.
nulo

Imagine que se mueve a lo largo de la recta tangente cuando x o da un paso ax 1 . La recta tangente es aquella que se encuentra con una curva en un punto determinado, pero no la cruza.


La línea tangente se encuentra con la curva.
Tomar_el_siguiente_paso_es_fácil

La pendiente de esta recta es el cambio en y dividido por el cambio en x . El cambio en y es y 1y o , y el cambio en x es x 1x o .

La pendiente en x o es la derivada de y con respecto ax , escrita como d y / d x . Así,

 dy / dy = (y1-y0) / (x1-x0)

Para simplificar las cosas, reemplace x 1x o con h :

dy / dx = (y1-y0) / h

Usando algo de álgebra, resuelve para y 1 :

y1 = yo + h (dy / dx)

Así es como se ve la ecuación diferencial en este ejemplo:

y_prime = 4x

Este ejemplo tiene una solución analítica:

y = 2x ^ 2 + 2

Comprobemos la solución analítica:

  • Identifique la condición inicial ( y en x = 0): 2.
  • Sustituya x = 0 en la solución ( y = 2 x 2 + 2): y = 2 (0) + 2 = 2.
  • La solución analítica hace que la ecuación diferencial sea verdadera.
  • Diferenciar y = 2 x 2 + 2 con respecto a x : 4 x + 0 = 4 x .
  • La ecuación diferencial es y = 4 x .

Este ejemplo nos proporciona una solución analítica para comparar con el método de Euler. Por lo general, usamos un método numérico cuando la solución analítica no existe.

Aquí está nuestra ecuación para y 1 :

y1 = yo + h (dy / dx)

Relacionemos esta ecuación con nuestra ecuación diferencial:

y_prime = 4x

¿Reconoces el primo y en el lado izquierdo como d y / d x en nuestra ecuación y 1 ?

En el lado derecho, también tenemos una función de x e y , que se escribe como f ( x , y ). En nuestro ejemplo, f ( x , y ) es simplemente 4 x .

¿Está de acuerdo en que d y / d x es igual a f ( x , y )? Nuestra ecuación diferencial es y = 4 x . En el lado izquierdo, y es lo mismo que d y / d x . En el lado derecho, 4 x es f ( x , y ). Por tanto, d y / d x = f ( x , y ).

Nuestro siguiente paso para desarrollar el método de Euler es escribir:

y1 = yo + hf (x, y)

¿Ves cómo reemplazamos d y / d x con f ( x , y )?

En x = x o , y = y o . Por tanto, f ( x , y ) se puede evaluar en este punto:

y1 = yo + h (f (xo, yo)

En el lado derecho, los subíndices son cero. Pero en el lado izquierdo, el subíndice es 1.

Por lo general, si el subíndice del lado derecho es n , el subíndice del lado izquierdo es n + 1:

y_ (n + 1) = y_n + hf (x_n, y_n)

Esta última ecuación es la receta del método de Euler. El siguiente valor de y se basa en el valor actual de y , el tamaño del paso h (o cambio en x ) y la función evaluada en los valores actuales de x e y . Veamos cómo Euler resuelve la ecuación diferencial en nuestro ejemplo.

Aplicación del método de Euler

Resuelva la ecuación diferencial: y = 4 x en el intervalo x = 1 ax = 3, dado y (1) = 4.

Paso 1: seleccione un tamaño de paso ( h )

Comencemos con un tamaño de paso de h = 0.5.

Paso 2: crea una tabla

Para realizar un seguimiento de los cálculos, usaremos una columna de 5 tablas, donde cada columna está dedicada a los valores encontrados en la ‘receta’ de Euler.

norte x n s n f ( x n , y n ) h f ( x n , y n )

Paso 3: Ingrese los valores n y x n

norte x n s n f ( x n , y n ) h f ( x n , y n )
0 1.0 4
1 1,5
2 2.0
3 2.5
4 3,0

El primer valor de x es 1.0. Esta es nuestra x o . En pasos de h = 0.5, los siguientes valores de x son 1.5, 2.0, 2.5 y 3.0. Los n valores comienzan en 0 y terminan en n = 4. También ingresaremos el punto de partida: y = 4 cuando x = 1.0.

Paso 4: Calcular y trazar

Aquí, f ( x , y ) = 4 x . Entonces, f ( x o , y o ) es 4 ( x o ) = 4 (1) = 4.

En la última columna, calculamos h por f ( x , y ): 0.5 (4) = 2.

norte x n s n f ( x n , y n ) h f ( x n , y n )
0 1.0 4 4 2
1 1,5 6
2 2.0
3 2.5
4 3,0

También ingresaremos el siguiente valor de y . Este es el valor de y anterior , 4, + h f ( x , y ), o 4 + 2 = 6.

¿Cómo se comparan nuestros resultados graficados con la solución real? ¡Hasta ahora, no está mal!

nulo

Paso 4: Complete la tabla y grafique los resultados

Con el mismo procedimiento, complete el resto de la tabla.

norte x n s n f ( x n , y n ) h f ( x n , y n )
0 1.0 4 4 2
1 1,5 6 6 3
2 2.0 9 8 4
3 2.5 13 10 5
4 3,0 18 12 6

Estos son los resultados representados junto con la solución analítica:

nulo

A medida que x aumenta, el método de Euler se aleja más de la solución analítica. Probemos con un tamaño de paso más pequeño: h = 0.25:

nulo

Aquí, un tamaño de paso más pequeño nos acerca a la solución analítica. Este no es siempre el caso y puede depender del método numérico, la condición inicial y el intervalo de valores de x . Por ejemplo, si el intervalo hubiera sido x = 0 a 3, la condición inicial podría haber sido (0, 0). La derivada en este punto de la curva es cero, lo que significa que el método habría continuado dándonos puntos en una línea horizontal mientras nos alejaba más de la solución analítica. El método de Euler es probablemente el menos sofisticado de los métodos numéricos, pero es relativamente fácil de usar, especialmente en los casos en los que funciona.

Resumen de la lección

Una ecuación diferencial , o una con derivadas, se puede resolver encontrando todos los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera. Una solución expresada como función es una solución analítica . La aproximación de una solución en un punto a menudo se logra mediante un método numérico . El punto de partida se llama condición inicial .

Después de definir un tamaño de paso, el método numérico llamado método de Euler usa la función, la condición inicial, el tamaño de paso y el valor actual de y para encontrar el siguiente valor de y con la ecuación:

y_ (n + 1) = y_n + hf (x_n, y_n)

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