Serie de potencias en X y el intervalo de convergencia

Serie de potencias en X

Mi parte favorita de la ferretería es la sección de herramientas eléctricas, especialmente las herramientas a batería. Hablando de potencia y herramientas, existe esta herramienta matemática llamada serie de potencia en x .

Una serie de potencias en x es una suma infinita de términos donde cada término es un factor que multiplica una x más una constante elevada a una potencia.

Construcción de una serie de potencias

¡Infinito es un montón de términos para sumar! ¿Qué pasa si comenzamos con los primeros 4 términos? La suma de esos cuatro términos podría verse así:

Dejamos que x tome un valor. Luego, sumamos los cuatro términos y obtenemos un resultado. ¿Qué pasa si dejamos que x tenga valores de -5 a -1? Entonces podríamos sustituir estos valores por x , sumar los cuatro términos y guardar los resultados. Graficando estos resultados como una función de x :

¿Puedes predecir cómo será el siguiente término de esta serie? Si dijiste ( x + 3)^4 dividido por 5, ¡entonces estás en lo correcto! ¿Qué pasa si sumamos los primeros 10 términos de la serie? Veamos, el décimo término será ( x + 3)^9 dividido por 10. Nuevamente, sustituya los valores de x de -5 a -1, sume los diez términos y guarde los resultados. Si estos resultados para 10 términos se grafican con los resultados para 4 términos, vemos:

Parece que hay algunos valores para x donde los resultados han cambiado mucho cuando pasamos de 4 términos a 10 términos. Los valores a la izquierda de -4 y los valores a la derecha de -2 son bastante diferentes. La suma se mantiene prácticamente igual entre x = -4 y x = -2. Esto se está poniendo interesante.

Mientras nuestra batería continúa cargándose, construyamos sobre estas ideas.

Intervalo de Convergencia

¿Cuál es el término general que hemos estado sumando? ¿Es ( x + 3)^ n dividido por n + 1? Veamos esto. Si n = 2, tenemos ( x + 3)^2 dividido por 3. Mirando hacia atrás cuando sumamos cuatro términos, este fue nuestro tercer término.

¿Qué pasa con el primer término, que es un 1? No hay problema. Haciendo n = 0 nos da ( x + 3)^0 dividido por 0 + 1. El ( x + 3)^0 es 1 y 0 + 1 es 1. Entonces tenemos 1 dividido por 1, que es 1.

Para expresar la suma infinita a partir de n = 0, escribimos:

La sigma mayúscula significa tomar la suma de n = 0 a n = infinito del término general. Vamos a usar el símbolo A _n para el término general.

La prueba de la razón dice que una serie converge si

Conocemos el término general A _n :

Para obtener la expresión A _{n +1 , reemplazamos la} n con n + 1:

Primero resolvamos la parte del valor absoluto:

Dado que ( n + 1)/( n + 2) siempre es mayor que 0, podemos sacarlo del valor absoluto:

Ahora, nos ocupamos de la parte límite de la prueba de la razón:

Como el valor absoluto de x + 3 no depende de n , lo sacamos del límite. Además, cuando n tiende al infinito, hay una diferencia insignificante entre n + 1 y n + 2, por lo que nuestro límite de ( n + 1) / ( n + 2) cuando n tiende al infinito es 1:

La serie de potencias en x converge para

Ahora escribimos cuidadosamente nuestros resultados en términos de un intervalo de convergencia . Este intervalo contiene los valores de x que permiten la convergencia de la serie. El valor absoluto significa

Resolviendo para x restando 3 de cada parte de la desigualdad:

Ahora tenemos que comprobar los puntos finales para ver si pertenecen a este intervalo de convergencia. ¿La suma converge en x = -2? Vuelva a la suma original y sea x = -2:

Si escribimos algunos términos, obtenemos:

Esta es la serie armónica, que diverge. Entonces, x = -2 no es parte del intervalo de convergencia. Comprobando x = -4:

Esta es una serie alterna. A medida que n aumenta, los términos de la serie alternan entre positivos y negativos. Hay dos condiciones para la convergencia de una serie alterna:

1. ¿El término general tiende a 0 cuando n tiende a infinito? Sí, 1/( n + 1) tiende a 0 cuando n tiende a infinito.

2. ¿Disminuyen los términos? Esto significa, ¿es 1/( n +1) mayor que 1/( n +2)? Esta condición también se cumple.

Concluimos que el punto final x = -4 es parte del intervalo de convergencia.

Resumiendo, esta serie de potencias en x converge para:

Esto concuerda muy bien con nuestra trama.

En este ejemplo, se incluyó un punto final en el intervalo de convergencia. A veces ambos están incluidos ya veces ninguno. Tenemos que verificar cada serie, al igual que debemos verificar si la batería está completamente cargada para nuestra herramienta eléctrica.

Resumen de la lección

Una suma infinita de términos donde cada término es un factor que multiplica una x más una constante elevada a una potencia se llama serie de potencias en x . A menudo usamos la prueba de la razón para encontrar el intervalo de convergencia . El intervalo de convergencia define los valores de x que permiten la convergencia de la serie infinita.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador