Diferenciación logarítmica
Fred se queda dormido y se salta la clase y se comunica con sus amigos para ver qué se perdió. » Diferenciación logarítmica », dicen. Parece lo que un leñador necesita saber al seleccionar árboles para cortar. Antes de que Fred se dirija a la ferretería a comprar una motosierra, señalemos esta lección.
Usando logaritmos, podremos encontrar la derivada de funciones que tienen x en el exponente . Nuestros ejemplos son y = x x y y = (4 x 3 – 2) 1 / x . ¿Ves la x en el exponente? ¿Alguien vio a Fred?
Logaritmos naturales
Allí va Fred saliendo a la naturaleza en busca de troncos para diferenciarse. En realidad, tiene algo de razón porque el logaritmo que necesita es el logaritmo natural ; el logaritmo con base e . Este logaritmo de x , escrito como ln x , tiene una derivada simple igual a 1 / x . Además, como todos los logaritmos, se puede usar para liberar un exponente: ln x a es a ln x . El exponente a aparece al frente.
Las reglas estándar para diferenciar, como la regla de la potencia y la regla del producto, no funcionarán directamente en funciones con exponentes en x .
Ejemplo 1: Diferenciar y = x x para x > 0
Antes de diferenciar y = x x , grafiquemos esta función.
Cálculo Diferencial: definición, concepto y formula
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En este ejemplo lo haremos
- diferenciar la función para obtener y ‘
- confirmar el resultado de y ‘trazando una línea tangente
Desde
Diferenciación Implícita: Fórmula y ejemplos
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Paso 1: Toma el tronco natural.
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El lado derecho, ln x x , se convierte en x ln x .
Fórmula de rendimiento porcentual | Cómo calcular el rendimiento
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Paso 2: diferenciar.
En el lado de la mano izquierda, la derivada de ln Y es 1 / Y veces y ‘. En el lado derecho, la derivada de x ln x se encuentra usando la regla del producto:
(derivada de x ) (ln x ) + x (derivada de ln x )
= (1) (ln x ) + x (1 / x )
= ln x + x / x
= ln x + 1
Así,
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Paso 3: Resuelve para y ‘.
Multiplicando ambos lados por y :
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Paso 4: Sustituye y en el lado derecho.
Reemplaza y con x x :
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Tenemos un resultado para la derivada, pero ¿cómo podemos verificar esta respuesta?
La derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto. Usemos nuestro resultado y ‘para encontrar y trazar la recta tangente en x = 1.
Primero, evalúe la derivada en x = 1:
y ‘= x x (1 + ln x ) se convierte en
y ‘= 1 1 (1 + ln 1) o
y ‘= 1 (1 + 0) = 1
La ecuación de una recta tiene la forma y = m x + b. Tenemos la pendiente m = 1. Para encontrar b, determine el valor de y donde la pendiente toca la curva. Desde
y = x x , sea x = 1:
y = 1 1 = 1.
La ecuación de la recta tangente debe satisfacer y = m x + b donde y = 1 y m = 1. Por lo tanto,
1 = 1 ( x ) + b donde x = 1. Por lo tanto, b = 0. La ecuación para la recta tangente en x = 1 es y = m x + b = 1 ( x ) + 0 = x . Por tanto, la recta tangente en x = 1 es y = x .
Trazar esta línea tangente con la curva se ve bien:
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Hablando de tangentes, Fred ha sido visto llevando una guía de campo para identificar árboles. ¿Cómo podemos ponerlo en el camino correcto? Quizás, otro ejemplo.
Ejemplo 2: Diferenciar y = (4 x 3 – 2) 1 / x para x > 0
Hay una x en el exponente nuevamente. Tiempo de diferenciación logarítmica.
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En este ejemplo lo haremos
- diferenciar la función
- trazar una recta tangente
Paso 1: Toma el tronco natural.
De y = (4 x 3 – 2) 1 / x , tome el logaritmo natural de ambos lados:
ln y = ln (4 x 3 – 2) 1 / x
Simplificar:
ln y = (1 / x) ln (4 x 3 – 2)
Paso 2: diferenciar.
El lado izquierdo es ( y ‘) / y como antes.
El lado derecho se diferencia mediante la regla del producto. Hasta ahora tenemos:
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Paso 3: Resuelve para y ‘.
Multiplicando ambos lados por y :
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Paso 4: Sustituye y en el lado derecho.
Reemplaza y con (4 x 3 – 2) 1 / x :
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Multiplica por (4 x 3 – 2) 1 / x . En el segundo término resultante, 12 x 2 dividido por x es 12 x . Además, (4 x 3 – 2) 1 / x dividido por (4 x 3 – 2) es (4 x 3 – 2) 1 / x – 1 :
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Una vez más, confirmamos la expresión de la derivada trazando una línea tangente. En x = 5, la expresión derivada se evalúa como -.44. Ahora, resuelve b en la ecuación y = m x + b. Cuando x = 5 e y = 3,46. Obtenemos b = 3.46 + .44 (5) = 5.66. Entonces, en el punto x = 5, la recta tangente a la curva tiene la ecuación y = -.44 x + 5.66. Trazar esta línea tangente con la curva confirma la expresión de la derivada.
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Después de vagar la mayor parte del día por el bosque, Fred confirma que está cansado. Utiliza el resto del día buscando un lugar para almacenar su equipo de tala recién adquirido.
Resumen de la lección
Las reglas estándar para diferenciar funciones de x no se aplican cuando hay una x en el exponente. En estos casos, el logaritmo de base e llamado logaritmo natural , se aplica antes de diferenciar. Si bien todos los logaritmos liberan el exponente, se usa el logaritmo natural porque tiene una derivada simple.
La diferenciación logarítmica utiliza los siguientes pasos:
Paso 1: Toma el tronco natural.
Paso 2: diferenciar.
Paso 3: Resuelve para y ‘.
Paso 4: Sustituye y en el lado derecho.
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