Uso de monotonicidad y concavidad para analizar curvas

Una curva

La mayoría de las funciones se graficarán en una curva de algún tipo. Por supuesto, algunas de estas curvas no se curvan en absoluto, mientras que otras curvas parecen una montaña rusa muy seria. Por ejemplo, la función y = 3 x se grafica en una línea recta sin curvas en absoluto, pero la función y = 4 sin x se grafica en una montaña rusa bastante genial.

Mira todas las caídas pronunciadas que toma esta función. Y el viaje por las colinas también es bastante empinado. Solo puedo imaginar la velocidad que puede alcanzar una montaña rusa con la forma de esta función a medida que avanza hacia los valles.

Una curva monótona

Ahora, en matemáticas, al observar las formas de estos gráficos, tenemos términos que describen cómo el gráfico se retuerce y se dobla. Decimos que un gráfico es monótono si el gráfico nunca disminuye o nunca aumenta. Podemos decir que nuestros gráficos monótonos disminuyen (no aumentan) o aumentan (no disminuyen).

Por ejemplo, la gráfica de y = 3 x

es monótono porque aumenta continuamente. Nunca disminuye.

Mira la gráfica de y = ( x ^ 3) / 2. ¿Crees que esta gráfica es monótona?

Si dijiste que sí, ¡estás absolutamente en lo cierto! Esta gráfica, aunque tiene una parte plana alrededor de x = 0, sigue siendo monótona porque nunca baja. Sube, se aplana y luego vuelve a subir. También está aumentando.

También puede verificar que una función sea monótona observando su primera derivada. Si la primera derivada nunca cambia de signo (es decir, va de positivo a negativo o de negativo a positivo), entonces la función es monótona. Por ejemplo, si tomamos la derivada de y = 3 x , obtenemos y ‘ = 3. Esta función no cambia de signo como esperaríamos de una función monótona. Se mantiene positivo y nunca cambia a negativo. Por otro lado, la función y = 4 sin x tiene una primera derivada de y ‘ = 4 cos x. Graficando esta función se ve que cambia de signo con bastante frecuencia. Sigue pasando de positivo a negativo y viceversa. Por tanto, esta función no es una función monótona.

Cóncava arriba

Si un gráfico tiene varias curvas, también podemos analizar cada una de esas curvas. Una curva es cóncava hacia arriba si es una curva que desciende y sube de nuevo. Parecerá un valle. Esta es la parte de la montaña rusa en la que bajas muy rápido hasta el fondo y luego vuelves a subir.

Para la gráfica de la función y = 4 sen x , todos los valles son curvas cóncavas hacia arriba.

Todas las partes resaltadas son donde el gráfico es cóncavo. Tenga en cuenta que las partes cóncavas hacia arriba no comienzan hasta que el gráfico comienza a descender. Aunque el gráfico desciende antes que las partes cóncavas ascendentes, el gráfico en realidad desciende desde una colina. Debe terminar de bajar antes de que se sumerja más en la parte cóncava hacia arriba.

Matemáticamente, podemos verificar si una función es cóncava hacia arriba en un punto c particular al encontrar la segunda derivada y evaluar en nuestro punto c para ver si es positiva. Probemos esto con la función y = 4 sin x . La segunda derivada es y » = -4 sin x . Evaluando esto en el punto x = -1, obtenemos y » = -4 sin (-1) = 0.0698. Es un número positivo, por lo que nuestra función es cóncava en este punto. Como puede ver en el gráfico, nuestra curva en x = -1 está dentro del área cóncava hacia arriba resaltada.

Cóncavo hacia abajo

Cuando la curva de nuestra función sube y baja de nuevo, tenemos una parte cóncava hacia abajo . Aquí están las partes cóncavas hacia abajo de nuestra gráfica y = 4 sin x .

En estas regiones, nuestra segunda derivada es negativa. Vamos a comprobarlo. Nuestra segunda derivada es y » = -4 sin x . Reemplazando un 1 para x , obtenemos y » = -4 sin (1) = -.0698. Este es un número negativo que nos dice que la curva es cóncava hacia abajo en este punto. ¿Está este punto dentro de las partes cóncavas hacia abajo resaltadas? ¡Sí lo es!

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Decimos que un gráfico es monótono si el gráfico nunca disminuye o nunca aumenta. Un gráfico monótono no decreciente también puede denominarse creciente. Un gráfico monótono que no aumenta también se puede denominar decreciente. Una curva en un gráfico es cóncava hacia arriba si es una curva que desciende y sube de nuevo. La curva del gráfico es cóncava hacia abajo si la curva sube y luego vuelve a bajar. Las funciones monotónicas tienen primeras derivadas que no cambian los signos positivos y negativos. Las curvas cóncavas hacia arriba tienen segundas derivadas que son positivas en esos puntos. Las curvas cóncavas descendentes tienen segundas derivadas que son negativas en esos puntos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador