Revisión de trigonometría
Repasemos algo de trigonometría. Digamos que tenemos un círculo unitario, es decir, un círculo con un radio de 1, y vamos a dibujar un punto desde el origen hacia el exterior del círculo, algún punto x, y . El ángulo formado entre esa línea (entre el origen y x, y ) y el eje x lo llamaré theta . Lo que estamos haciendo es básicamente sacar una rebanada de pastel de nuestro círculo unitario. Centrémonos en esa pieza que acabamos de cortar. En particular, centrémonos en el triángulo formado por el radio 1, la coordenada x (que es uno de los catetos de este triángulo) y la coordenada y (el otro cateto de este triángulo). Eso forma un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras puedo decir que x^ 2 + y ^ 2 = 1 – que la suma del cuadrado de ambos lados es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Un mnemónico práctico
Echemos otro vistazo a este triángulo rectángulo y definamos los bordes. Primero tengo theta . Ahora theta se define como el ángulo entre nuestra hipotenusa (que voy a llamar h ) y este tramo aquí (que voy a llamar a ). Eso es porque es adyacente – al lado – del ángulo. La otra pierna la voy a llamar o ; que es opuesto al ángulo que me interesa. Mi triángulo tiene dos patas ( una y S ) y una hipotenusa ( h ). ¿Por que hice eso? Porque quiero ensillar nuestros caballos, galopar felizmente, a otras aventuras – SohCahToa. SohCahToa es una forma de recordar senos, cosenos y tangentes. Soh – ‘ensillar nuestros caballos’ – significa que el pecado de theta es igual a la pierna opuesta dividida por la hipotenusa. Cah es para ‘galope alegremente’: el coseno es igual al adyacente sobre la hipotenusa. ‘A otras aventuras’ es la tangente de theta igual al borde opuesto dividido por el borde adyacente. Si eres astuto, puedes resolver la tangente en función del seno y el coseno, y encuentras que la tangente de theta es igual al seno de theta dividido por el coseno de theta .
Seno
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Entonces, ¿qué significa todo esto? Bueno, veamos el seno . Sine theta – Ensille nuestros caballos. El seno es igual al opuesto sobre la hipotenusa. Si vuelvo a mi círculo unitario, entonces mi hipotenusa tiene una longitud de 1. Mi borde opuesto tiene una longitud de y . Entonces, el seno theta en el círculo unitario es igual a y . Esto nos ayuda a graficar el seno theta . Así que dibujemos una gráfica – seno theta en función de theta . Lo que voy a hacer es dar la vuelta al círculo una vez en sentido contrario a las agujas del reloj, y voy a observar lo que le sucede a y cuando theta pasa de 0 a 2 pi . 2 pies una vez alrededor del círculo. Entonces, ¿qué le pasa a y ? La y va a -1 antes de volver a 0 cuando completamos el círculo. Entonces, comenzando en pi , y va a -1, luego vuelve a 0 cuando llegamos a 2 pi . Entonces, una gráfica de seno theta se ve así. Es una onda sinusoidal bastante estándar. Se parece al océano.
Coseno
Ahora veamos el coseno : galope lejos felizmente. El coseno es igual al borde adyacente dividido por la hipotenusa. En nuestro círculo unitario, esto es x dividido por 1, o solo x . Puedo hacer lo mismo: ¿qué sucede ax cuando doy la vuelta a este círculo en sentido antihorario? Inicialmente x es igual a 1, luego se mueve lentamente a 0, luego a -1, por lo que estamos rastreando esto. Cuando estamos en 180 grados, o pi , estamos en x = -1, y luego, cuando completamos el círculo, retrocedemos desde -1 para x hasta 1 para x . Entonces esta es una onda cosenoidal. Parece una onda sinusoidal, pero está desplazada por pi / 2.
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Tangente
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Por último, está la tangente . La tangente es un poco más difícil. Esto es para otras aventuras. Tangente theta es igual al borde opuesto dividido por el borde adyacente. Es más difícil porque no estamos usando 1 total en esto, estamos usando X y Y , por lo que la tangente de theta en nuestro círculo unitario es y dividido por x , o sinusoidal dividido por el coseno. Cuando traza la tangente, comienza en 0, porque cuando theta es 0, el seno es 0 y el coseno es 1, luego aumenta y finalmente se dispara hasta el infinito: hay una asíntota en pi / 2. ¿Por qué tenemos una asíntota en pi / 2? Bueno, porque el coseno de pi/ 2 es 0, entonces estamos dividiendo entre 0 aquí, entonces aquí tenemos nuestra asíntota. Justo después de pi / 2, la tangente de theta es muy negativa, y luego aumenta, aumenta, aumenta … cuando llegamos a pi , la tangente de pi es 0, luego sigue este ciclo nuevamente: sube hasta el infinito, tiene una vertical asíntota en 3 pi / 2, y luego regresa, menos infinito, de nuevo a 0, cuando llegamos a 2 pi .
Tangente en trigonometría: definición y descripción general
Bien, entonces conocemos a SohCahToa – ensilla nuestros caballos, galopa felizmente, hacia otras aventuras – hipotenusa, lados adyacentes, opuestos y nuestro ángulo es theta . Entonces, el seno theta es igual al opuesto sobre la hipotenusa, el coseno theta es adyacente sobre la hipotenusa y la tangente de theta es el opuesto sobre el adyacente. Pero también sabemos que a veces no nos importa lo contrario sobre la hipotenusa; a veces nos importa la hipotenusa más que lo contrario. Esto es 1 dividido por seno. 1 dividido por seno es la cosecante. A eso lo llamamos csc de theta . 1 dividido por el coseno es la secante, sec, de theta . 1 dividido por tangente es la cotangente de theta. En todos estos, en lugar de usar SohCahToa, queremos escribir seno igual opuesto sobre hipotenusa y tomar 1 dividido por seno, 1 dividido por opuesto sobre hipotenusa. Terminamos con cosecante igual a la hipotenusa sobre el lado opuesto, secante es igual a la hipotenusa sobre el lado adyacente y la cotangente es igual al adyacente dividido por el lado opuesto.
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Resumen de la lección
Así que recapitulemos. Si no recuerda nada más de la trigonometría, recuerde el Teorema de Pitágoras. En este caso usted tiene un ^ 2 + O ^ 2 = h ^ 2. Y recuerde ensillar nuestros caballos, galope lejos felizmente, a otras aventuras.
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