Usar cambio de variables

Es hora de simplificar

Si alguna vez has estudiado un idioma extranjero, sabes que al principio puede parecer muy complicado. ¡Aprender vocabulario, gramática y pronunciación en un idioma totalmente nuevo requiere mucho trabajo! Pero muchos idiomas están relacionados, y reconocer las similitudes entre su idioma nativo y el que está tratando de aprender puede ayudar a simplificar el proceso.

Podemos usar un proceso similar para resolver problemas en matemáticas. Las funciones pueden parecer muy complicadas al principio, con muchas partes diferentes, incluidos productos, cocientes, exponentes y radicales. Lo que es peor, a menudo necesitamos tomar el límite de una función donde la función en sí no está definida o es discontinua.

Afortunadamente, podemos usar el método de cambio de variables , en el que definimos una parte de la función como una nueva variable, para simplificar el proceso de encontrar el límite de una función. El cambio de método variable también se llama a menudo u -substitution , ya que la variable se introduce a menudo se llama U , y sustituimos las formas de U en el lugar de la variable original de la función. En esta lección, exploraremos el uso del método de cambio de variables para encontrar los límites de funciones complicadas donde la función no está definida.

Exponentes racionales

Intentemos encontrar el siguiente límite:

Parece complicado, ¿verdad? Esta es una función racional, por lo que no está definida cuando el denominador es igual a 0, lo que ocurre cuando x = 27. Debido a que la función no está definida en x = 27, no podemos asumir que el límite de la función cuando x se acerca a 27 es igual a la función en x = 27. Intentemos usar un cambio de variable para simplificar la función.

Introduzcamos la variable u = x 1/3 . Estamos cambiando la variable a u , por lo que queremos reemplazar todas las instancias de x en la función con una forma de u . El denominador de la función contiene una x . Definimos u = x 1/3 , por lo que si simplemente cubrimos ambos lados, podemos calcular que x = u 3 .

Dado que estamos cambiando la variable en la función, también necesitamos cambiar la variable en el límite. Si x se acerca a 27, entonces u = x 1/3 se acerca a 27 1/3 = 3.

Ahora podemos sustituir nuestra nueva variable u en la función y limitar:

Tal vez no parezca más simple al principio, pero si recuerda su curso de álgebra, debe reconocer que el denominador ahora es una diferencia de cubos, que puede factorizarse fácilmente.

El numerador y el denominador de la función racional comparten un factor común de u – 3, por lo que se puede cancelar, dejándonos con un numerador de 1. Dado que esta nueva función se define en u = 3, sabemos que el límite de la función cuando u se acerca a 3 es igual al valor de la función en u = 3. Por lo tanto:

El límite de la función original cuando x se acerca a 27 es igual al límite de la función simplificada cuando u = x 1/3 se acerca a 3, que es 1/27.

Radicales múltiples

Aquí hay otro ejemplo de una función de apariencia complicada a la que queremos tomar el límite:

Nuevamente, la función no está definida donde queremos tomar el límite en x = 1. Quizás deshacerse de los radicales ayudaría. Pero si sustituyo u = x , todavía me quedan los mismos radicales. Así que intentemos definir un poder superior de u que nos permitirá deshacernos de los radicales. Si u 2 = x entonces:

Eso nos ayuda a deshacernos de la raíz cuadrada en la parte superior, pero todavía nos queda una raíz cúbica en la parte inferior. ¿Qué poder de u nos ayudaría a deshacernos de ambos radicales? Esta potencia debe ser el mínimo común múltiplo, o el número más pequeño que es un múltiplo compartido de 2 y 3 (de las raíces cuadradas y cúbicas, respectivamente). El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6. Veamos qué sucede cuando u 6 = x :

¡Ahora nos hemos deshecho de ambos radicales! Y deberías notar que nos quedamos con una diferencia de cubos y una diferencia de cuadrados. Ambos se factorizan fácilmente:

El factor común de u – 1 se cancela en el numerador y denominador. Ahora verifiquemos si necesitamos cambiar el límite con nuestra sustitución en u . Como u 6 = x , podemos elevar ambos lados de la ecuación a la potencia de 1/6 y obtener u = x 1/6 . Por lo tanto, cuando x se acerca a 1, u = x 1/6 se acerca a 1 1/6 = 1. El límite no ha cambiado en este caso, y nuestra nueva función se define en u = 1. Ahora podemos resolver el problema:

El límite de la función original cuando x se acerca a 1 es igual al límite de la función simplificada cuando u se acerca a 1, que es 3/2.

Resumen de la lección

El método de cambio de variables , en el que definimos una parte de la función como una nueva variable, es una herramienta útil para encontrar los límites de funciones complicadas donde la función no está definida. Este método también es llamado u -substitution debido a que a menudo llamamos la nueva variable u y suplentes formas de U para todas las instancias de la variable original, incluso en el límite. Este método ayuda a simplificar una función complicada para que se pueda calcular el límite.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador