Prueba por contradicción: definición y ejemplos

Prueba por contradicción

En el libro A Mathematician’s Apology de GH Hardy (en la foto de abajo), describe la prueba por contradicción como «una de las mejores armas de un matemático». Continuó diciendo: «Es una táctica mucho más fina que cualquier juego de ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón o incluso una pieza, pero un matemático ofrece el juego».

A veces, cuando es difícil o absolutamente imposible probar la verdad de una declaración directamente, podemos recurrir a la prueba por contradicción. Sabemos que una afirmación no puede ser tanto verdadera como falsa, tiene que ser una o la otra. La prueba por contradicción usa este hecho para probar que algo es verdadero mostrando que no puede ser falso. Cuando se prueba que algo es verdadero usando prueba por contradicción , asume que el enunciado es falso y, a medida que avanza con la prueba, se encuentra con una contradicción, lo que hace que el supuesto de que su enunciado original sea falso sea imposible, por lo que debe ser verdadero.

Al decidir si la prueba por contradicción es la mejor manera de probar un enunciado dado, es una buena idea preguntarse, ¿qué pasaría si el enunciado no fuera verdadero? Si el resultado de la afirmación que no es verdadera conduce a algo que no tiene sentido, como 1 = 5 op es par yp es impar, entonces la prueba por contradicción es una buena forma de proceder.

Pasos

Para aclarar aún más el proceso de prueba por contradicción, vamos a dividirlo en pasos. Cuando usamos prueba por contradicción, seguimos estos pasos.

1. Suponga que su afirmación es falsa.
2. Proceda como lo haría con una prueba directa.
3. Encuentra una contradicción.
4. Indique que debido a la contradicción, no puede darse el caso de que la afirmación sea falsa, por lo que debe ser verdadera.

Ejemplos

Un ejemplo muy común de prueba por contradicción es probar que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Antes de mirar esta prueba, hay algunas definiciones que necesitaremos saber para entender la prueba:

• Número par : un número m que se puede escribir como m = 2 n donde n es un número entero
• Número impar : un número r que se puede escribir como r = 2 s + 1, donde s es un número entero. Por ejemplo, 14 es un número par porque 14 = 2 * 7. De manera similar, 101 es un número impar porque 101 = 2 * 50 + 1. Observa que si un número entero no es par, entonces es impar. Lo contrario también es cierto. Si un número entero no es impar, entonces es par.
• Número racional : un número que se puede escribir como p / q , donde p y q son números enteros. Por ejemplo, 3 y 0.9 son números racionales porque podemos escribir 3 como 3/1 y podemos escribir 0.9 como 9/10.

Ahora, echemos un vistazo a esta prueba de que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Declaración: La raíz cuadrada de 2 es irracional.

Prueba por contradicción:

Asuma que no. Es decir, suponga que la raíz cuadrada de 2 es racional. A continuación, la raíz cuadrada de 2 puede escribirse como p / q , donde p y q son números enteros, y p / q se reduce tanto como sea posible ( p y q no comparten factores comunes). Observar:

Por lo tanto, p ^ 2 es par, entonces p es par. Como p es par, se cumple lo siguiente:

Como p ^ 2 = 2 q ^ 2 y p ^ 2 = 4 k ^ 2, vemos que 2 q ^ 2 = 4 k ^ 2. Si dividimos ambos lados de esto por 2, tenemos que q ^ 2 = 2 k ^ 2, entonces q ^ 2 es par, y se deduce que q es par. Sin embargo, si p y q son pares, entonces comparten un factor común de 2, y p / q no se reduce tanto como sea posible. Esto es una contradicción con nuestro supuesto original, por lo que debe ser el caso de que la raíz cuadrada de 2 no sea racional. Por tanto, la raíz cuadrada de 2 es irracional.

En la prueba anterior, se ilustra cada paso. Para el paso uno, asumimos lo opuesto al enunciado ‘la raíz cuadrada de 2 es irracional’, por lo que asumimos que la raíz cuadrada de 2 es racional. Para el paso dos, procedimos a intentar probar que la raíz cuadrada de 2 es racional. El tercer paso fue encontrar una contradicción, y encontramos que cuando vimos que p / q resultó ser tanto reducible como irreductible. Esto nos llevó al paso cuatro, donde declaramos que nuestra suposición de que la raíz cuadrada de 2 era racional no puede ser cierta, por lo que la raíz cuadrada de 2 debe ser irracional.

Consideremos otro ejemplo sencillo. Supongamos que queremos probar la siguiente afirmación.

Declaración: 193 es un número impar.

Si bien podríamos probar esto directamente mostrando que 193 = 2 * k + 1 donde k es un número entero, usaremos la prueba por contradicción para ilustrar más este método.

Prueba por contradicción:

Asuma que no. Es decir, suponga que 193 no es un número impar. Dado que 193 es un número entero y, por supuesto, no es un número impar, debe ser un número par. Entonces existe un entero s tal que 193 = 2 * s .

Sin embargo, si s = 96.5, no es un número entero, por lo que tenemos una contradicción. Por lo tanto, no puede ser cierto que 193 sea un número par, por lo que 193 debe ser un número impar.

Resumen de la lección

Ahora tenemos otro método de prueba en nuestra caja de herramientas, a saber, prueba por contradicción , una de nuestras ‘mejores armas’ cuando se trata de probar una declaración o argumento. Para llevar a cabo la prueba por contradicción, primero pregúntese qué pasaría si su afirmación no fuera cierta. Si se da cuenta de que eso conduciría a una contradicción, entonces la prueba por contradicción es un buen camino a seguir. Una vez que haya decidido que este es el método que desea utilizar, siga los pasos descritos en esta lección para probar con éxito su afirmación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador