Cómo utilizar la sustitución trigonométrica para resolver integrales

Resolver con tablas

En estos ejemplos, tomar la derivada del lado derecho te da el integrando

Tomemos un minuto para revisar algunas técnicas de integración. Aquí vamos a integrar la integral indefinida , eso significa que no tiene límites, de f (x) dx . Sabemos que la integral de f (x) dx es igual a la anti-derivada en función de x más una constante de integración. Si toma la derivada de la anti-derivada, recupera su función original. Entonces, ¿cuáles son algunas de las formas que conocemos para encontrar integrales? Primero, podemos usar una tabla. Puede ser una tabla en un libro, en línea o lo que haya memorizado. Por ejemplo, la integral de x ^ 2 dx = (1/3) x ^ 3 + C . Lo sabes porque sabes cómo integrar polinomios. La integral de sin ( x ) dx = -cos ( x ) + C . La integral de e ^ (x) dx = e ^ (x) + C . Para cada uno de estos casos, si toma la derivada del lado derecho, termina con el integrando . Esto es cierto para todas las integrales; así es como se calcula una integral.

Resolver por sustitución

La segunda forma que conocemos para calcular integrales es mediante sustitución. En este caso, vamos a tomar una integral que depende de x , y vamos a hacer una sustitución donde u es igual a una nueva función de x . Al insertar u , esperamos terminar con una integral más simple que podamos integrar con respecto a u . Por ejemplo, tenemos la integral sin (2 x ) dx . Quiero sustituir u por 2 x , entonces u = 2 x y du = 2 dx . Entonces puedo conectarlos, tanto para 2 x como para dx, y mi integral se convierte en 1/2 sin ( u ) du . Puedo usar una tabla para resolver esto, porque la integral de sin ( u ) es -cos ( u ). Consigo -1/2 cos ( u ) + C . Ahora quiero conectar 2 x donde tengo u , esa es mi sustitución original, por lo que obtengo x en mi respuesta final. Consigo -1/2 cos (2 x ) + C . Si tomo la derivada de esto, termino con sin (2 x ). Eso es resolver por sustitución, y eso es, con mucho, lo que más usarás al resolver integrales a mano, pero hay un par de otros métodos que debes conocer.

udv = uv menos la integral de vdu es una reordenación de la regla del producto

Resolver por partes

Uno es la integración por partes. Aquí tienes la integral de udv = uv menos la integral de vdu . Esto es solo una reordenación de la regla del producto. Un ejemplo sería la integral de xe ^ ( x ) dx . Aquí voy a establecer x igual a una nueva variable, u para que du = dx . Voy a establecer e ^ ( x ) dx igual a dv , por lo que v tiene que ser igual a e ^ x porque la derivada de e ^ xes e ^ ( x ) dx . Si coloco u , v , du y dv en el lado derecho de mi ecuación para la integración por partes, termino con xe ^ x (eso es uv ) menos la integral de e ^ ( x ) dx (eso es vdu ). En este punto, puedo usar una tabla en mi cabeza porque he memorizado esta integral. La integral de e ^ ( x ) dx es e ^ x , por lo que si lo conecto, mi integral se convierte en xe^ X – e ^ x + C . Si tomo la derivada, termino con xe ^ x .

Resolviendo por Riemann Sums

La última forma en que puedes resolver una integral es mediante Riemann Sums. Esta no es una forma analítica de resolverlo; es decir, no le quedarán números. Lo resolverá numéricamente, en una computadora o calculadora; ingresará números reales.

Ejemplo de resolución por partes

Hagamos un ejemplo. Digamos que le dan la integral de x ^ 2 (sin ( x )) dx . Su primer paso sería ver si puede recordar esta integral o buscarla en una tabla. Lo más probable es que cualquier integral que se te ocurra esté en una tabla o no tenga solución. Hay libros completos sobre cómo escribir integrales como este, todas las integrales posibles que se te ocurran y que realmente tienen soluciones. Pero digamos que no tiene ese libro a mano, por lo que lo primero que intenta es la sustitución: u = sin ( x ) y du = cos ( x ) dx . Esto no tiene mucho sentido, porque si ingresas sin ( x ) obtienes u perox ^ 2 se convierte en arcsin ^ 2 ( u ). Acabas de hacer la vida un poco más complicada, así que quizás esa no sea la mejor manera de hacerlo. Dado que la sustitución sigue siendo lo primero a lo que desea ir, ¿qué pasa con u = x ^ 2 y du = 2 xdx ? Eso es bueno, pero todavía tienes sin ( x ), que se convertiría en sin (raíz cuadrada de u ) y eso nuevamente suena realmente complicado. Entonces, tal vez la sustitución no sea el método que desea considerar.

Usando la integración por partes en el ejemplo final

Dado que tiene una función multiplicada por otra función, tal vez podría hacer la integración por partes. En la integración por partes, voy a establecer esta primera función, x ^ 2, igual a u . Eso deja sin ( x ) dx como dv , porque recuerde, la integral de udv = uv menos la integral de vdu . Así que mi integrante tiene que ser u veces DV : si x ^ 2 = T , entonces el pecado ( x ) dx = dv . Si u = x ^ 2, entonces du = 2 xdx. Si dv = sin ( x ) dx , entonces v = -cos ( x ), porque si tomo la derivada de -cos ( x ), termino con sin ( x ) dx . Entonces tengo u , v , du y dv . Si introduzco todos estos en mi ecuación para la integración por partes, obtengo – x ^ 2 (cos ( x )) + la integral de cos ( x ) 2 xdx . (El ‘+’ proviene del signo menos de v combinado con el signo menos en nuestra ecuación). Puedo reescribir esto como – x ^ 2 (cos ( x)) + 2 veces la integral de x (cos ( x )) dx . En realidad, no conozco la integral de x (cos ( x )) dx en la parte superior de mi cabeza. Parece un poco más simple que x ^ 2 (sin ( x )), pero todavía no es algo que yo sepa. Echemos un vistazo a toda esta ecuación: la integral de x ^ 2 (sin ( x )) dx = – x ^ 2 (cos ( x )) + 2 veces la integral de x (cos ( x )) dx . Hagamos que el primer término sea de un color diferente, para que sepamos que es de la integración original por partes. Tomemos el segundo término, 2 veces la integral de x (cos ( x )) dx , e integremos eso por partes. Así que voy a hacer lo mismo de nuevo. En mi nueva integración por partes, voy a establecer x igual ay cos ( x ) dxigual a dv . Entonces du = dx y v = sin ( x ). Si conecto todos esos en la integración por partes, termino con x (sin ( x )), eso es uv , menos la integral de sin ( x ) dx , eso es vdu . Estoy casi allí. Ahora puedo tomar este término, dividirlo y multiplicar el 2, entonces obtengo 2 x (sin ( x )) – 2 veces la integral de sin ( x ) dx . Finalmente tengo una integral, sin ( x ) dx , que conozco de la parte superior de mi cabeza. Es solo -cos (x ) + C . Hicimos mucho trabajo para encontrar esto, así que asegurémonos de hacerlo correctamente y tomemos la derivada del lado derecho. Tenemos x ^ 2 (sin ( x )) dx = – x ^ 2 (cos ( x )) + 2 x (sin ( x )) + 2cos ( x ) + C . Veamos un término a la vez. La derivada de – x ^ 2 (cos ( x )), por la regla del producto, es la primera por la derivada del segundo más la segunda por la derivada del primero: – x ^ 2 (-sin ( x )) – 2 x (cos ( x ). Para mi segundo término, 2 x (sin (x ), para encontrar la derivada nuevamente tendré que usar la regla del producto. Obtengo 2 x (cos ( x ) + 2sin ( x ). ¡Se hace cada vez más largo aquí! ¿Qué pasa con el tercer término, 2cos ( x ) + C ? La derivada de eso es solo -2sin ( x ) + 0, porque la derivada de una constante es cero.

x ^ 2 (sin (x)) fue el integrando original para el problema final

Escribamos todo esto. Tengo x ^ 2 (sin ( x )) – 2 x (cos ( x )) + 2 x (cos ( x )) + 2sin ( x ) – 2sin ( x ). Esto es fantástico. Los términos 2 x (cos ( x )) se cancelan entre sí y los términos 2sin ( x ) se cancelan entre sí. Entonces, la derivada completa se simplifica hasta x ^ 2 (sin ( x )), que era mi integrando original, por lo que esta es la integral de x ^ 2 (sin ( x )) dx .

Resumen de la lección

Revisemos. Al final del día, tiene algunas herramientas a su disposición para resolver problemas de integración . Puedes resolver problemas simplemente memorizando ciertas integrales. Estas son las integrales realmente comunes que desea poder sacar de la parte superior de su cabeza, como sin ( x ), 1 / x y x ^ 2. También puede encontrar integrales en una tabla , en línea o en un libro. Pero no todas estas integrales se pueden encontrar en uno de estos lugares, ya sea en tu cabeza o en alguna referencia. Entonces necesitas usar un par de otras herramientas, como por ejemplo la sustitución . Aquí está tomando una integral que depende de x , convirtiéndola en una integral que depende de u y esperando que la nueva integral sea más fácil de resolver. También puedes resolverlo por partes . Es como usar la regla del producto a la inversa. También puedes usar álgebra y trigonometría para simplificar tu integrando, f (x), en algo más manejable. Cuando usa trigonometría, es posible que desee usar un tipo diferente de sustitución según las reglas de la geometría y los triángulos rectángulos. Finalmente, si todos estos fallan, puede resolver una integral definida numéricamente . Es decir, puede calcular el valor de su integral usando sumas de Riemann.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador