La dilatación es una transformación
¿Recuerdas el juego de Nintendo Super Mario Brothers donde el personaje principal comía un hongo y luego crecía de tamaño? La programación de la computadora está usando una dilatación para que esto suceda. Una dilatación es cuando una forma ha mantenido su orientación pero ha cambiado de tamaño, haciéndose más pequeña o más grande. Esta es una forma de transformación , que es un reposicionamiento de una forma.
Hay cuatro transformaciones básicas: reflexión, rotación, traslación y dilatación.
- Un reflejo es cuando una forma se refleja a través de una línea.
- Una rotación es cuando se ha rotado una forma.
- Una traslación es cuando una forma se ha movido (deslizado) sin cambiar la orientación de la forma.
- La cuarta transformación (y el tema de esta lección) es la dilatación .
Factores de escala
Cuando se trata de hacer algo de un tamaño diferente, siempre debes responder a la pregunta: ¿cuánto quieres cambiarlo? El factor de escala es la cantidad que desea cambiar una forma. El factor de escala siempre es una medida de multiplicación. Si el factor de escala es un número mayor que uno, la forma se agrandará. Si el factor de escala es un número menor que uno, la forma se encogerá.
Si tuvieras un factor de escala de tres, las longitudes de tu forma serán tres veces su tamaño original. Una forma que se está dilatando con un factor de escala de 1/2 tendrá la mitad del tamaño del original. Esto se puede considerar como multiplicar por la mitad o dividir por dos. Si el factor de escala es uno, entonces nada cambia, porque multiplicar cualquier cosa por uno te da lo que empezaste.
El factor de escala multiplica la distancia y la distancia es unidimensional. ¿Qué sucede con el área cuando se ha dilatado una forma? Tomemos un cuadrado de una pulgada y dilatémoslo por un factor de tres. Los lados ahora son de tres pulgadas por pieza. El área de un cuadrado de tres pulgadas es de nueve pulgadas cuadradas (3 x 3). El área del cuadrado original era de 1 pulgada cuadrada (1 x 1). La longitud del lado del cuadrado se triplicó. El área es bidimensional, por lo que debemos usar el factor de escala dos veces, elevándolo al cuadrado. Al encontrar el volumen, usará el factor de escala tres veces, dividiéndolo en un cubo.
Centro de dilatación
Siempre que se dilata una forma, hay que saber desde qué punto se dilata. Este punto se llama centro de dilatación . Se supone que el centro de dilatación es el origen (0,0) de la cuadrícula de coordenadas x, y , a menos que se indique lo contrario.
Para determinar la dilatación, comenzaría con un punto en la forma original. ¿Hasta qué punto es este punto del centro de la dilatación en función de x y de y ? Luego, esa distancia se multiplicará por el factor de escala. El nuevo punto estará tan lejos del centro de dilatación.
Por ejemplo, digamos que tiene el punto (2, 3) que se encuentra en alguna forma. Vamos a dilatar esta forma con un factor de 2 y un centro de dilatación de (1, 1). El punto (2, 3) está <+1, +2> alejado del centro de (1, 1). Multiplicar <+1, +2> por el factor de escala de 2 da <+2, +4>. El nuevo punto estará <+2, +4> lejos del centro (1, 1) en (4, 7).
Algunos ejemplos más
Aquí hay otro ejemplo para ayudarnos a ver esto. Dilata el cuadrado con los vértices de (1, 3), (3, 3), (1, 5) y (3, 5) usando un factor de escala de 2 y un centro de dilatación de (1, 1). Los vértices están (0, 2), (2, 2), (0, 4) y (2, 4) lejos del centro de dilatación. Multiplicar por el factor de escala de 2 da (0, 4), (4, 4), (0, 8) y (4, 8). Esto es lo lejos que están los nuevos puntos del centro de dilatación. Al agregarles (1, 1) se obtienen (1, 5), (5, 5), (1, 9) y (5, 9).
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El cuadrado dilatado tiene los vértices (1, 5), (5, 5), (1, 9) y (5, 9).
Este es nuestro segundo ejemplo que podemos ver. Dilata el triángulo con vértices de (2, 2), (4, 6) y (6, 2); un factor de escala de 1/2, con el origen como centro de dilatación. Dado que el centro de dilatación es (0, 0), simplemente puede dividir todos los números por 2.
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El triángulo dilatado tiene vértices en (1, 1), (2, 3) y (3, 1)
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido. Una dilatación es una transformación de una forma que mantiene la orientación de la forma pero cambia el tamaño. Es una forma de transformación , que es un reposicionamiento de una forma. Hay otras tres formas de transformación, que incluyen la reflexión , que es cuando una forma se refleja a través de una línea; rotación , que es cuando se ha girado una forma; y traslación , que es cuando una forma se ha movido (deslizado) sin cambiar la orientación de la forma.
Para dilatar una forma, necesitará conocer el factor de escala o la cantidad en la que desea cambiar una forma. El factor de escala siempre es una medida de multiplicación. También necesitará saber desde qué punto se está dilatando, llamado centro de dilatación . Estará en el origen, o (0, 0) en una cuadrícula de coordenadas, a menos que se indique lo contrario. El área será el factor de escala al cuadrado, mientras que el volumen, si corresponde, será el factor de escala al cubo.
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