Teorema de divergencia
Las vacaciones finalmente están aquí. ¡Amigos, comida, música y fuegos artificiales!
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Mientras miramos una explosión de fuegos artificiales, podríamos preguntarnos cómo describir el flujo de material hacia afuera con algo de lenguaje matemático. En esta lección, desarrollamos este lenguaje con el teorema de divergencia .
Describiendo el flujo
Los fuegos artificiales son un invento maravilloso. La pólvora coloreada almacenada en una pequeña cápsula se lanza al aire. Luego, la cápsula explota enviando material de color ardiente en todas direcciones. Es una bola que crece en tamaño hasta que se agota todo el material de la cápsula. Mirando la bola de fuegos artificiales en dos dimensiones veríamos:
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¿Ves esas flechas? Cada flecha tiene un color (una magnitud ) y una dirección . Son vectores. Lo que tenemos es una colección de vectores en el espacio: un campo vectorial . Podríamos escribir este campo vectorial como
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En x , y y z todos iguales a 0, tenemos la ubicación de la cápsula justo antes de explotar. Esta es la ubicación ‘bang’. Después de explotar, la magnitud del campo vectorial aumenta cuanto más nos alejamos de la ‘explosión’. Vemos esto en la imagen. ¡Los fuegos artificiales son espectaculares!
Digamos que rodeamos el ‘bang’ con una esfera imaginaria. ¿Y si quisiéramos saber cuánto material pasa a través de la superficie de esta esfera? Una esfera de radio R está centrada en la ‘explosión’. En la trama, tenemos un círculo que muestra la ubicación de esta esfera. ¿Y si sumamos todo el material que atraviesa la superficie? Es posible que sepa cómo se relaciona la «suma» con la «integración». La ecuación que describe esta suma es la integral de flujo
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Flujo significa flujo. Podría ser el flujo de un líquido o un gas. En el ejemplo de los fuegos artificiales, el flujo es el flujo de material de pólvora por unidad de tiempo. El círculo en el signo integral dice que la superficie debe ser una superficie cerrada : una superficie sin aberturas. La ‘n’ pequeña con sombrero se llama vector normal unitario . Es un vector de longitud uno que apunta en una dirección perpendicular a la superficie. Tomamos la dirección de n apuntando hacia afuera. El pequeño punto entre el vector F y el vector normal n significa un producto escalar . Su función es proporcionar la magnitud del vector F en la dirección del vector unitario n. ¡Esto es genial! Es una forma de mirar solo la parte de F que atraviesa la superficie.
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Este tipo de integral se llama integral de superficie cerrada . La evaluación de una integral de superficie generalmente implica muchos pasos como encontrar ny cambiar la ‘dS’ en una integral doble. A menudo, es más sencillo evaluar utilizando el Teorema de la divergencia : una integral de superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia del campo vectorial F sobre el volumen definido por la superficie cerrada. Hagamos un ejemplo para que esto tenga sentido.
Pero primero, una forma más compacta de expresar las palabras: ‘divergencia del campo vectorial F’:
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El triángulo que apunta hacia abajo con el punto posterior se llama operador de divergencia . Al leer este símbolo en voz alta decimos: ‘del dot’. Esto es lo que ‘del dot’ le hace a nuestro vector F:
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El garabato de aspecto divertido dividido por el garabato x es la derivada parcial con respecto a x : tome la derivada con x como variable mientras mantiene todo lo demás constante. La divergencia en tres dimensiones tiene tres de estas derivadas parciales. En nuestro ejemplo, la derivada parcial de x con respecto a x es uno, la derivada parcial de y con respecto a y es uno y la derivada parcial de z con respecto a ztambién es uno. Obtenemos 1 + 1 + 1 = 3 que luego se pondrá al frente de una integral. Como puede imaginar, las derivadas parciales pueden ser más complicadas dependiendo del campo vectorial F.
Un hecho matemático que necesitaremos más adelante es el volumen de una esfera de radio R: Volumen = 4 π R ^ 3/3.
¿Recuerda esas palabras para el teorema de la divergencia? «Una integral de superficie puede evaluarse integrando la divergencia sobre un volumen». Como una ecuación escribimos
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Trabajando el lado derecho usando el valor de 3 para la divergencia de F:
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La integral sobre ‘dv’ es solo el volumen. En nuestro ejemplo, este es el volumen de la esfera con radio R. El flujo total aumenta cuando R se eleva a la tercera potencia. No es de extrañar que la bola de fuegos artificiales parezca realmente brillante a medida que se expande.
Aplicaciones del teorema de la divergencia
En la explosión de fuegos artificiales, la cápsula es una fuente que proporciona el flujo. Si la divergencia es cero, no hay fuentes dentro del volumen. Esta idea tiene aplicaciones en el estudio del flujo de fluidos que incluye el flujo de calor.
El teorema de la divergencia se ha utilizado para desarrollar varias ecuaciones en el estudio del flujo de fluidos; por ejemplo, la ecuación de Euler y la ecuación de Bernoulli . La ecuación de Euler relaciona la velocidad, la presión y la densidad de un campo en movimiento, mientras que la ecuación de Bernoulli describe la sustentación del ala de un avión.
En electromagnetismo, la carga total incluida q es proporcional al flujo del campo eléctrico E. Aquí está la ecuación
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¿Reconoces esto como una integral de superficie cerrada? A menudo se evalúa utilizando el teorema de la divergencia.
Desde los fuegos artificiales hasta el flujo de fluidos y los campos eléctricos, el teorema de la divergencia tiene muchos usos. ¡Esa es una razón para celebrar!
Resumen de la lección
El teorema de la divergencia reemplaza el cálculo de una integral de superficie con una integral de volumen. La integral de superficie es la integral de flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada . La integral de volumen es la divergencia del campo vectorial integrado sobre el volumen definido por la superficie cerrada. Las aplicaciones se encuentran en los estudios de flujo de fluidos y electromagnética .
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