Sustitución en U: ejemplos y concepto

El método de sustitución para la integración

La integración por sustitución es uno de los muchos métodos de evaluación de integrales en cálculo. Otros métodos de integración incluyen el uso de fórmulas y tablas de integración, integración por partes, método de fracciones parciales y sustitución trigonométrica.

En esta lección, aprenderá a reconocer cuándo utilizar la técnica de sustitución de u para la integración. También aprenderá los pasos para completar la sustitución u a través de ejemplos.

Fórmula de sustitución y un ejemplo paso a paso

¿Alguna vez se ha encontrado con un tipo de problema que nunca antes había visto? Una forma de abordar el nuevo problema es convertirlo en uno familiar. Esa es la idea subyacente detrás de la sustitución u , que es el proceso de resolver una integral desconocida convirtiéndola en una integral que sabes cómo resolver.

En forma matemática, la fórmula de sustitución para la integración se puede escribir como se muestra a continuación. Esta fórmula solo es cierta si la función u tiene derivadas continuas sobre un intervalo y si la función f puede integrarse en el rango de g (x) .

De acuerdo con esta fórmula, queremos cambiar una integral que es función de la variable x a una integral que es función de la variable u . Podemos realizar este cambio completando los siguientes tres pasos:

1. Sustituir: comience cambiando la integral de una función de xa una función de u . Para hacer esto, debes identificar la función g (x) en la integral que reemplazarías con u . Sea u igual a g (x) . Diferencie u con respecto ax y resuelva para g ‘(x) dx en términos de du . Ahora está listo para hacer una sustitución completa en la integral original. Sustituye u en lugar de g (x) en la integral dada. Además, sustituya la expresión que obtuvo en términos de du por g ‘(x) dx. Tu nueva integral debe estar completamente en términos de u y no en términos de x .
2. Integrar: evalúa la nueva integral con respecto a u .
3. Reemplazar: Reemplaza u con g (x) en la solución integral.

Apliquemos los pasos anteriores para evaluar la integral en el siguiente ejemplo:

Entonces, ¿notó algo en el ejemplo anterior? Seleccioné la función dentro del paréntesis como mi elección para u . Normalmente, las funciones entre paréntesis son buenas candidatas para la sustitución de u . ¿Es esta la única vez que puede usar la sustitución u ? No, hay muchos otros tipos de problemas en los que este método es útil. Veamos algunos otros ejemplos para comprender los tipos de problemas que se pueden resolver con esta técnica.

Ejemplo: integración de funciones bajo un signo radical

Las funciones bajo signos radicales también son buenas opciones para asignar como u . En el siguiente ejemplo, elegí sustituir la función debajo del signo radical con u .

Ejemplo: integración de funciones trigonométricas

Intente usar la sustitución u , la próxima vez que vea un problema de integración con una función trigonométrica. A continuación, se muestran dos ejemplos que demuestran cómo aplicar la sustitución cuando se enfrentan a funciones trigonométricas.

Expresiones en denominador y exponentes

Hay otros dos casos en los que puede aplicar fácilmente la técnica de sustitución de u . Si encuentra un problema de integración con el número de Euler elevado a un exponente con expresión algebraica, entonces la expresión se puede sustituir por u . Por ejemplo, e al (5 x +8). En este tipo de problema, sea u = 5 x + 8.

Además, si tienes una integral con una expresión algebraica o una expresión trigonométrica en el denominador, entonces puedes aplicar la sustitución u . Por ejemplo, si tiene integral de (1 / (2 + cos5 x )). En este caso, sea u = 2 + cos5 x . Recuerde que la integración de ‘1 / u es igual a ln | u | + C.

Hay muchos ejemplos en los que la sustitución de u es muy útil; sin embargo, no podemos cubrirlos todos en esta lección. Cuando se encuentre con un problema de integración que nunca antes había visto, intente la sustitución u para hacerlo más simple. Con práctica adicional, comprenderá mejor cuándo aplicar la sustitución u . Hay otros métodos que puede utilizar si la sustitución de u no funciona para un problema en particular; sin embargo, los ejemplos anteriores deberían haberle dado algunas ideas sobre cuándo es más fácil aplicar la sustitución u .

Resumen de la lección

En resumen, la sustitución de u es un proceso de simplificar una integral compleja en una que se reconoce a partir de fórmulas integrales comunes. Generalmente, las integrales que contienen función entre paréntesis, signo radical, expresión algebraica elevada a un número de Euler, expresión algebraica en denominador, funciones trigonométricas y una combinación de estas son buenas candidatas para la sustitución de u . El procedimiento para la sustitución de u se puede resumir en tres pasos principales:

1. Sustituir variables y escribir una nueva integral como función de u
2. Integrar con respecto a u .
3. Reemplaza u por g (x) en la solución.

Intente aplicar lo que ha aprendido en esta lección para integrar los problemas del cuestionario.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador