Aplicación de la regla de L’Hopital en casos complejos

Revisión rápida de la regla de L’Hôpital

Una revisión de la regla de LHopitals

La regla de L’Hôpital dice que si está tratando de encontrar un límite y termina con algo como 0/0 o infinito / infinito, puede intentar mirar las derivadas para calcular el límite. Es decir, el límite cuando x va a C de f (x) / g (x) . Si eso le da 0/0 o infinito / infinito, puede decir que el límite que estaba buscando originalmente es igual al límite cuando x va a C de f ‘(x) / g’ (x) .

Ejemplo de la regla de L’Hôpital en casos complejos

A veces, sin embargo, la regla de L’Hôpital no te da exactamente lo que estás buscando. Como en el caso del límite cuando x llega a cero de (1 – cos ( x )) / x ^ 2. Ahora, en x = 0, tengo cero en la parte superior y cero en la parte inferior, así que esto me dice que debería usar la regla de L’Hôpital. Hago esto, y encuentro que el límite cuando x va a cero de (1 – cos ( x )) / x ^ 2 es el mismo que el límite cuando x va a cero de sin ( x ) / 2 x , porque sin ( x ) es la derivada de 1 – cos ( x ), y 2 x es la derivada de x^ 2. Sin embargo, aquí está el problema; el límite cuando x va a cero de sin ( x ) es 0, y el límite cuando x va a cero de 2 x es 0. Hmm, bueno, esto es un problema. Usamos la regla de L’Hôpital para evitar esto en primer lugar. ¿Ahora que?

En el ejemplo # 1, la regla de LHopitals se puede aplicar nuevamente a sin (x) / 2x

Bueno, sin ( x ) / 2 x es solo otra función, ¿verdad? Entonces podemos usar la regla de L’Hôpital en esto. Ahora mi nueva f (x) es sin ( x ), y mi nueva g (x) es 2 x . Si uso eso en la regla de L’Hôpital, entonces digo que el límite cuando x va a cero de sin ( x ) / 2 x es igual al límite cuando x va a cero de cos ( x ), que es la derivada de sin ( x ) – dividido por 2, que es la derivada de 2 x . Finalmente, cuando x va a cero, cos ( x ) va a 1, y cuando xva a cero, 2 se queda en 2. Así que finalmente tengo un límite que no es 0/0. Lo que termino con es el límite cuando x va a cero de (1 – cos ( x )) / x ^ 2 es igual a 1/2, y encontré esto simplemente aplicando repetidamente la regla de L’Hôpital.

Segundo ejemplo

Así que vemos mucho este tipo de cosas cuando miramos cosas como funciones trigonométricas y polinomios. Como el límite del ejemplo cuando x va a cero de ( x ^ 3 – x ^ 2) / (2 x ^ 2). Ahora en x = 0, tanto la parte superior como la inferior son cero, por lo que este límite es 0/0. Aplico la regla de L’Hôpital usando la parte superior – f (x) = x ^ 3 – x ^ 2 – y la parte inferior, g (x) , siendo 2 x ^ 2. Encuentro las derivadas de esos y los conecto. Termino con el límite cuando x va a cero de (3 x ^ 2 – 2 x ) / 4 x. Bueno, una vez más este límite me está dando 0/0, así que voy a aplicar la regla de L’Hôpital nuevamente. Mi nueva f (x) es 3 x ^ 2 – 2 x desde la parte superior aquí, y mi nueva g (x) es 4 x . Encuentro las derivadas, las inserto y obtengo el límite cuando x va a cero de (6 x – 2) / 4. Bueno, ese límite existe, y ese límite es -2/4 o -1/2. Entonces, de todo esto, estas aplicaciones repetidas de la regla de L’Hôpital, encuentro que el límite cuando x va a cero de ( x ^ 3 – x ^ 2) / (2 x ^ 2) es -1/2.

Encontrar la solución en el ejemplo 2

Tercer ejemplo

Veamos otro caso, como el límite cuando x llega a cero de x (1 – cos ( x )) / ( x – sin ( x )). En x va a cero, tengo el límite de 0/0, así que utilizo la regla de L’Hôpital. De acuerdo, tomando la derivada de la parte superior, obtengo primero, x , multiplicado por la derivada del segundo, que es sin ( x ), más la derivada del primero (que es solo 1) multiplicado por el segundo, 1 – cos ( x ). Tomo la derivada de la parte inferior y termino con la derivada de x , que es 1, menos la derivada de sin ( x ), que es cos ( x ). Está bien, así como xva a cero, la parte superior es cero y la parte inferior es cero. Bueno, usemos de nuevo la regla de L’Hôpital. Entonces, la derivada en la parte superior va a ser la derivada de x (sin (x)), así que primero multiplica la derivada del segundo más el segundo multiplicado por la derivada del primero, que es 1, más la derivada de 1 – cos ( x ), que es simplemente sin ( x ). Voy a dividir eso por la derivada de 1 – cos ( x ), que es sin ( x ).

Debido a que tengo dos sin ( x ) s en la parte superior, voy a recopilar términos y escribir esto como el límite cuando x llega a cero de ( x (cos ( x )) + 2sin ( x )) / sin ( x ). Muy bien, aquí vamos; hemos usado la regla de L’Hôpital dos veces, el límite de la parte superior es 0 + 0 – uh oh – sobre sin ( x ): 0. Eh. ¡Intentemos usar la regla de L’Hôpital de nuevo! La derivada de x (cos ( x ) es – x (sin ( x )) + cos ( x ). La derivada de 2sin ( x ) es 2cos ( x ), y la estoy dividiendo por la derivada de sin ( x) ), o cos (x ). Nuevamente, voy a simplificar los términos porque tengo muchos cosenos en la parte superior y termino con (3cos ( x ) – x sin ( x )) / cos ( x ). Muy bien, ¿cuál es el límite de esto cuando x llega a cero? Bueno, este primer término va a 3, este va a 0 y cos ( x ) va a 1. ¡Ah, por fin! 3/1, o simplemente 3. Entonces, el límite cuando x llega a cero de ( x (1 – cos ( x )) / ( x – sin ( x )) es 3. Seguimos aplicando la regla de L’Hôpital cada vez que vi 0/0.

La regla de LHopitals se usó tres veces para encontrar la solución en el ejemplo # 3

Resumen de la lección

Revisemos. La regla de L’Hôpital dice que el límite cuando x va a C de f (x) / g (x) es igual al límite cuando x va a C de f ‘(x) / g’ (x) siempre que su original límite dado a 0/0 o infinito / infinito. Ahora, si su nuevo límite le da 0/0 o infinito / infinito, puede seguir aplicando la regla de L’Hôpital hasta que obtenga algo que tenga un poco más de sentido, como 0/3 o 1/2.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador