Dar un paseo por un gráfico
Imagínese reduciéndose al tamaño de la gráfica de una función. Si fuera una línea horizontal, caminaría sobre una superficie plana. Si la gráfica fuera una línea con una pendiente poco profunda, estaría caminando cuesta arriba o cuesta abajo dependiendo de si la línea tiene una pendiente positiva o negativa. Si la gráfica fuera de la función sinusoidal, estarías caminando cuesta arriba y cuesta abajo dependiendo de la parte de la ola en la que te encuentres.
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La definición formal de diferencial es el cambio en la función con respecto al cambio en la variable independiente. El formato general de un diferencial es
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La razón de dy a dx es la pendiente de la gráfica de una función en un punto específico, que se llama derivada . Podemos reescribir esta ecuación como el diferencial de dy dándonos
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Donde f ‘(x) es la derivada de la función con respecto ax .
Usemos este formato general para encontrar el diferencial de varias funciones.
Funciones de biyección, sobreyección e inyección: Diferencias, métodos y descripción general
Hallar el diferencial de una función
Hay muchos tipos diferentes de funciones en varios formatos, por lo tanto, necesitamos tener algunas herramientas generales para diferenciar una función en función de lo que es. Nos centraremos en cuatro procesos para tomar derivadas:
- la regla del poder
- la regla del producto
- la regla del cociente
- las derivadas de las tres funciones trigonométricas
Tomemos nuestra caja de herramientas derivada y veamos cómo aplicar el uso de estas herramientas.
La regla del poder
La regla de la potencia se ejecuta multiplicando el exponente de la variable por su coeficiente para obtener el nuevo coeficiente de la variable. Luego reducimos el exponente de la variable en 1. Veamos un ejemplo de cómo usar la regla de la potencia.
Ejemplo 1
Mensaje: Determine el diferencial de
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Solución: Comenzamos multiplicando 2 y 4 para obtener 8 y luego bajamos el exponente en el primer término x de 2 a 1, lo que nos da
Beth Din: Historia, funciones y estructura
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Tomamos el próximo trimestre y hacemos lo mismo. Multiplicamos el exponente de la x , que es 1, por el coeficiente 2/3. Bajamos el exponente de la x en 1, lo que nos da x 0 , que es 1. Esto significa que la variable desaparece y nos da
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El último término es 1/2 sin variable. Podemos reescribir esto como (1/2) t 0 y seguir el mismo patrón que hemos estado siguiendo. 0 por 1/2 es 0, lo que significa que la derivada de una constante es cero. Ahora juntamos todos estos términos dándonos
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Finalmente, podemos poner esto en el formato diferencial que discutimos antes dándonos
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La regla del producto
La regla del producto es cómo determinar el diferencial de una función cuando hay términos que se multiplican. Usamos la plantilla
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dónde
Funciones y secreciones de la glándula tiroides: vocabulario
- f ‘es la derivada del primer término
- g ‘es la derivada del segundo término
Veamos cómo usar la regla del producto a través de un ejemplo.
Ejemplo 2
Mensaje: Determine el diferencial de
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Solución: x 1/3 es la f en la ecuación de la regla del producto y ( x 2 – 6x ) es la g en la regla del producto. Primero tomamos la derivada de f usando la regla de la potencia que aprendimos antes, dándonos
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Multiplicamos esto por el término g que nos da
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Ahora ejecutamos la siguiente parte de la regla del producto donde multiplicamos f por la derivada de g . La derivada de g es
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que ahora multiplicamos por f ‘resultando en
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Poniendo esto en forma diferencial obtenemos
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Ahora aprendamos sobre la regla del cociente.
Regla del cociente
Hay otra plantilla a seguir cuando tenemos que determinar el diferencial de términos que se dividen. La plantilla es
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donde f es el término en el numerador y g es el término en el denominador.
Un ejemplo nos ayudará a entender cómo usar la regla del cociente.
Mensaje: Determine el diferencial de
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Solución: Comencemos con el numerador de la plantilla diferencial del cociente. Tomaremos la derivada del término f , que es 4x 2 + 3 dándonos
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Luego, multiplicamos por el término g . Esto resulta en
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Ahora multiplicamos el término f por la derivada del término g . Esto resulta en
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La última parte de la plantilla es cuadrar el término g . Esto nos da
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Ahora juntamos todas estas piezas siguiendo la regla del cociente que nos da
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Podemos simplificar esta respuesta. El primer paso nos da
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Simplificar aún más nos da nuestra expresión:
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Poner esto en forma diferencial da como resultado
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¿Qué pasa con el diferencial de las tres funciones trigonométricas? ¡Vamos a ver!
Derivadas de funciones trigonométricas
Las derivadas de las funciones trigonométricas se dan en la Tabla 1.
| Tabla 1: Derivada de funciones trigonométricas | |
|---|---|
| Función | Derivado |
| seno | coseno |
| coseno | – seno |
| tangente | seg 2 |
Trabajemos un ejemplo.
Mensaje: Determine el diferencial de
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Solución: utilizamos la Tabla 1 para determinar el diferencial de esta función. Esto resulta en
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que se puede simplificar para dar
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Terminemos el problema poniendo nuestro resultado en forma diferencial:
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Resumen de la lección
Un diferencial es el cambio en la función con respecto al cambio en la variable independiente. La razón del diferencial de y al diferencial de x es la pendiente de cualquier línea tangente a la gráfica de una función, también conocida como derivada .
El formato general de un diferencial es
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La regla de la potencia se ejecuta multiplicando el exponente de la variable por su coeficiente para obtener el nuevo coeficiente de la variable. Luego bajamos el exponente de la variable en 1.
La regla del producto es
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La regla del cociente es
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Las derivadas de las funciones trigonométricas son
| Función | Derivado |
| seno | coseno |
| coseno | – seno |
| tangente | seg 2 |
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