Cómo calcular la pendiente en un punto

Derivada y pendiente

Suponga que tiene una piscina y la temporada de piscinas está llegando a su fin. Esto significa que debe cerrar su piscina, lo que implica drenar el agua de la piscina. La máquina de bombeo que está utilizando está drenando de tal manera que la cantidad de agua, en galones, que queda en la piscina después de x minutos de drenaje viene dada por la siguiente función:

A ( x ) = 4 x 2 – 320 x + 6400

Se muestra el gráfico de esta función.

Gráfico de la función de piscina

¿Sabía que podemos calcular la velocidad a la que se está drenando la piscina después de una cantidad determinada de minutos que la piscina ya se ha estado drenando? ¡Es realmente fascinante! Todo se relaciona con la derivada de la función.

Cuando escuchó la palabra «tasa», es posible que esperara que dijera que todo se relaciona con la pendiente de la función. Después de todo, la pendiente de una función da la tasa a la que el valor de la función cambia con respecto ax . ¡Por supuesto! Cuando tenemos una línea, la pendiente es constante y bastante fácil de encontrar. Simplemente encontramos dos puntos en la línea y usamos la fórmula de la pendiente para calcular la pendiente.

Genial, pero ¿qué hacemos cuando tenemos una curva que no es una línea, como nuestra función de piscina? La pendiente es diferente en cada punto de la curva, por lo que no podemos usar nuestra fórmula de pendiente para una línea. ¡Aquí es donde entran en juego las derivadas! La derivada de una función da una fórmula para encontrar la pendiente de una función a un valor dado de x .

Para poner esto en perspectiva, considere nuestro ejemplo de piscina. Podemos usar la derivada de nuestra función para encontrar la pendiente de la función en cualquier valor dado de x . Esa pendiente nos dará la velocidad a la que se drena la piscina después de x minutos. ¡Con buena pinta!

Pasos para encontrar la pendiente en un punto

Bien, ahora conocemos la relación entre derivadas y pendientes. Esta relación da paso a los pasos de encontrar la pendiente de una función en un punto dado ( x 1 , y 1 ).

1. Encuentra la derivada de la función. Hay muchas formas diferentes de hacer esto, dependiendo de la función.
2. Reemplaza el valor x , x 1 , del punto en la derivada. Ésta es la pendiente de la función en el punto.

Bastante fácil, ¿verdad? ¡Pongamos esto en práctica! Considere nuestro ejemplo de la piscina nuevamente. Suponga que el agua ha estado drenando durante 15 minutos. Podemos conectar 15 para x para ver cuánta agua queda en la piscina.

A (15) = 4 (15) 2 – 320 (15) + 6400 = 2500

Después de 15 minutos de drenaje, quedan 2500 galones de agua en la piscina. Si queremos averiguar la velocidad a la que se está drenando la piscina en este punto, simplemente llevamos la función a través de los pasos anteriores.

Primero, encontramos la derivada de la función. Para esta función, usamos los siguientes hechos para encontrar la derivada.

• La derivada de una suma o diferencia es la suma o diferencia de las derivadas, respectivamente.
• La derivada de una constante es 0.
• La derivada de a x n es ans n -1

Por lo tanto, la derivada de A ( x ) = 4 x 2 – 320 x + 6400 es A ‘( x ) = 8 x – 320

El siguiente paso es conectar x = 15 en A ‘.

A ‘(15) = 8 * 15 – 320 = -200

Esto nos dice que después de 15 minutos de drenar la piscina, la velocidad a la que el agua sale de la piscina es de 200 galones por minuto. No dejes que la respuesta negativa te confunda. Esto es negativo, porque el agua está saliendo de la piscina, por lo que la cantidad de agua está bajando. Si estuviéramos llenando la piscina, entonces sería positivo. En general, cuando el valor de una función disminuye, su pendiente es negativa y cuando el valor de una función aumenta, su pendiente es positiva.

Observe que si dibujamos una línea tangente a la gráfica de la función donde x = 15, podemos ver que parece que la pendiente de la línea es de aproximadamente -200.

Vemos que hemos calculado la pendiente de la curva en el punto (15, 2500).

Más práctica

Supongamos que quisiéramos saber qué tan rápido se está drenando la piscina después de 20 minutos. Es el mismo proceso. Ya hemos encontrado el derivado de, por lo que sólo tiene que conectar x = 20 en el derivado de A .

A ‘(20) = 8 * 20 – 320 = -160

Vemos que después de 20 minutos de drenaje, el agua sale de la piscina a 160 galones por minuto. Nuevamente, podemos observar que la pendiente de la recta tangente a la curva en x = 20 parece ser alrededor de -160, por lo que sabemos que lo hicimos correctamente.

Resumen de la lección

La derivada de una función da una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la función en cualquier punto dado. Para encontrar la pendiente de una función en un punto ( x 1 , y 1 ), usamos los siguientes pasos.

1. Encuentra la derivada de la función
2. Reemplaza x 1 en la derivada de x .

Esto le da la pendiente de la función en el punto ( x 1 , y 1 ).

Esencialmente, cuando encontramos la pendiente de una función en un punto dado, estamos encontrando la tasa de cambio de esa función en ese punto. Debido a que las tasas de cambio aparecen todo el tiempo en el mundo que nos rodea, ¡este es un conocimiento extremadamente útil!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador