Uso de propiedades aditivas de integrales definidas

Área bajo una curva

Un contratista está construyendo una casa con techo inclinado. Para determinar la cantidad de aislamiento necesario, debe encontrar el área de una sección transversal del ático. El techo se puede describir mediante la gráfica de la función y = f (x) como se muestra a continuación, donde el eje x es el piso del ático.

Gráfica de y = f (x)

Cuando f (x) es positivo para x entre ayby ​​a es menor que b, la integral definida de f (x) dx de a a b es simplemente el área de la región entre la gráfica de y = f (x) y el eje x entre x = ay x = b. Por lo tanto, el contratista necesita evaluar la integral definida de f (x) dx de 0 a 9. ¿Cómo puede hacer esto? Usando geometría simple, vemos que el área en cuestión está compuesta por dos triángulos, que están sombreados en verde y morado en el gráfico que se muestra a continuación.

Integral definida de f (x) dx de 0 a 9

Ahora, sabemos que el área del triángulo verde es 1/2 * 3 * 3 = 4.5 y el área del triángulo púrpura es (1/2) * 6 * 3 = 9. Por lo tanto, la integral definida de f (x) dx de 0 a 9 es 4.5 + 9 = 13.5. En otras palabras, la integral definida de f (x) dx de 0 a 9 es la suma de las integrales definidas de f (x) dx de 0 a 3 (triángulo verde) y de f (x) dx de 3 a 9 ( triángulo morado). Esta es una ilustración de la propiedad aditiva de integrales definidas:

Propiedad aditiva 1

Ejemplo

Se le pide que encuentre la integral definida de -2 a 6 de la función definida por partes f definida por x² si x <3 y x-1 si x> = 3. He aquí cómo resolverlo:

1. Usando la propiedad aditiva de las integrales definidas, la integral definida de f (x) dx de -2 a 6 es igual a la integral definida de f (x) dx de -2 a 3 más la integral definida de f (x) dx de 3 a 6.
2. Cada una de estas integrales se puede resolver fácilmente reemplazando f (x) con su definición en ese intervalo.
3. La definición de la función de -2 a 3 es x². Usando esta definición, podemos usar nuestras calculadoras para calcular la integral definida de x² dx de -2 a 3, lo que da 35/3
   
4. La definición de la función de 3 a 6 es x-1. Usando nuestras calculadoras, podemos calcular la integral definida de x-1dx de 3 a 6, lo que da 21/2.
   
5. Para completar el problema, simplemente agregue 35/3 + 21/2 para obtener 133/6.

Es más probable que un estudiante necesite la propiedad aditiva enumerada anteriormente cuando se le pide que encuentre una integral definida de una función definida por partes. También debería mencionarse que aunque la propiedad como se indicó anteriormente se aplica con mayor frecuencia cuando b está entre ayc, es verdadera independientemente del orden de a, by c.

Dos propiedades aditivas más

Además de la propiedad aditiva principal discutida anteriormente, hay dos propiedades aditivas más de integrales definidas. La segunda propiedad aditiva es que la integral definida de f (x) dx de b a a es lo opuesto a la integral definida de f (x) dx de a a b:

Propiedad aditiva 2

Esta propiedad se utiliza para cambiar los límites superior e inferior de integración. Específicamente, a menudo es deseable tener el límite superior más alto que el límite inferior; Con esta propiedad, podemos cambiar los límites al precio de un signo negativo.

La tercera propiedad aditiva es que la integral definida de a a a de f (x) dx es cero:

Propiedad aditiva 3

Ejemplo

Se le pide que evalúe la integral definida de g (x) dx de 0 a -4 dada la gráfica de y = g (x) que se muestra a continuación.

Gráfica de y = g (x)

¿Podemos encontrar una antiderivada de g (x)? ¡No! Debido a que solo se nos da la gráfica de g (x), debemos usar geometría para resolver este problema. Usando la segunda propiedad aditiva, la integral definida de g (x) dx de 0 a -4 es lo opuesto a la integral definida de g (x) dx de -4 a 0. En la gráfica, podemos ver que el área acotada entre la gráfica de y = g (x) y el eje x entre x = -4 y x = 0 es un cuarto de círculo de radio 4. Por lo tanto, la integral definida de g (x) dx de -4 a 0 es 1/4 * π * 4², o 4π. Finalmente, la integral definida de g (x) dx de 0 a -4 es -4π.

Debido a que necesitábamos usar geometría para resolver este ejemplo, era imperativo que el límite superior de integración fuera mayor que el límite inferior. Sin embargo, este orden no siempre es necesario; Los problemas algebraicos que requieren el uso de una antiderivada para evaluar una integral definida pueden resolverse usando el Teorema Fundamental del Cálculo sin importar el orden de los límites superior e inferior.

Ejemplo

Se le pide que evalúe la integral definida de cos (x²-x) dx de π a π.

¿Estás pensando en técnicas complicadas que podrías usar para encontrar una antiderivada de cos (x²-x)? Aunque esta línea de pensamiento es tentadora, ¡solo te dará dolor de cabeza y mucho tiempo perdido! En su lugar, simplemente observe que los límites superior e inferior de integración son los mismos. Por lo tanto, según la tercera propiedad aditiva, la respuesta a este problema es cero.

Resumen de la lección

Es importante notar que las tres propiedades aditivas mencionadas anteriormente son verdaderas para cualquier función integrable f (x) y cualquier número real a, by c. La primera propiedad dice que puede dividir una integral definida en dos (o más) integrales definidas sobre intervalos disjuntos, y se aplica con mayor frecuencia cuando se integran funciones definidas por partes. La segunda propiedad dice que los límites superior e inferior de integración se pueden cambiar al precio de un signo negativo. Esta propiedad se aplica con mayor frecuencia cuando es importante tener los límites en un orden particular. Finalmente, la tercera propiedad dice que la integral definida es 0 siempre que los dos límites de integración sean iguales.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador