Las fuerzas de los fluidos en los lados de los tanques

Encontrar fuerzas

Imagina que trabajas para un acuario. Estás construyendo un tanque para contener una ballena y estás tratando de determinar qué tipo de vidrio usar en la ventana de visualización del tanque de la ballena. Desea asegurarse de que el vaso sea lo suficientemente fuerte para durar, por lo que necesita saber cuánta fuerza ejercerá el agua sobre el vaso. Esta lección te ayudará a resolverlo.

Suponga que la ventana de visualización para la que está comprando vidrio comienza 4 metros por debajo de la superficie del agua y tiene 8 metros de ancho y 4 metros de alto, como se muestra en la imagen de abajo.

Miras en un libro de texto de física y descubres que la fuerza de un fluido sobre una superficie a cierta profundidad viene dada por la ecuación:

F = ρ gdA

dónde:

ρ es la densidad del agua

g es la aceleración debida a la gravedad

A es el área de la superficie

d es la profundidad de la superficie

Sintiéndose triunfante, va a calcular la fuerza sobre el vidrio cuando se da cuenta de algo muy importante: ¡su ventana no tiene la misma profundidad! ¡La parte superior de la ventana tiene solo 4 metros de profundidad, mientras que la parte inferior tiene 8 metros de profundidad! Aquí es donde el cálculo viene al rescate.

Integración para encontrar la fuerza

Dado que la ventana no tiene la misma profundidad, vamos a imaginar cortar la ventana en un número infinito de cortes horizontales. Cada una de estas rebanadas será tan delgadas que la parte superior e inferior de la rebanada tendrán la misma profundidad, y todas serán rectángulos. Veamos si podemos encontrar la fuerza en cada una de estas pequeñas rebanadas, y luego intentemos sumarlas todas para encontrar la fuerza total.

La densidad del agua es de 1000 kg / m³. La aceleración debida a la gravedad es de 9,8 m / s². Esto nos da ρ = 1000 y g = 9,8. Ahora, busquemos A y d . Como estamos tratando de encontrar la fuerza en un corte a una profundidad arbitraria, solo la voy a representar con una variable, x . Dado que nuestro sector es rectangular, solo necesitamos encontrar su ancho y alto para encontrar el área. Ya que estamos tomando cortes horizontales de un rectángulo, cada corte tendrá 8 m de ancho. Dado que son infinitamente delgados, usaremos dx para representar la altura de un corte. Poniendo todo eso junto, la fuerza en una rebanada es:

(1000) (9,8) x (8) dx = 78400 xdx .

Como tenemos un número infinito de sectores, usamos una integral para sumar todos los sectores. Dado que la profundidad de la ventana va de 4 ma 8 m, podemos encontrar la fuerza con la siguiente integral.

Por lo tanto, la fuerza total sobre la ventana es 1,881,600 N.

Ventana triangular

Ahora, suponga que su jefe en el acuario se acerca a usted y le dice que quiere hacer un diseño de ventana más interesante, como se ve en la imagen de abajo.

¿Cuál será la fuerza en esta ventana? Puede pensar que será la mitad de la fuerza, ¡pero en realidad no lo es! Comprobemos de nuevo cuánta fuerza hay en cada rebanada.

La densidad del agua, la aceleración debida a la gravedad, la profundidad de un corte y la altura de un corte son todas iguales que con la ventana rectangular. Sin embargo, el ancho de un corte cambia a medida que profundizamos. Veamos si podemos encontrar una función que nos diga el ancho de un corte a una profundidad x . Sea w este ancho.

Observe que cuando la profundidad es de 4 m, el ancho de un corte es 0, ya que está en el punto superior del triángulo. Cuando la profundidad es de 8 m, el ancho es de 8 m. Dado que el triángulo tiene lados rectos, eso nos dice que el ancho cambia linealmente desde la parte superior a la inferior del triángulo. Por lo tanto, podemos usar estos dos puntos de datos para encontrar una función lineal para el ancho w del triángulo a una profundidad x debajo del agua.

La pendiente de nuestra función lineal será 2 ya que el ancho aumenta 8 metros a medida que la profundidad aumenta en 4 metros. Usando la forma punto-pendiente de una ecuación lineal y el punto donde la profundidad es 4, el ancho es 0 y la pendiente es 2, sabemos que

w = 2 ( x – 4)

w = 2 x – 8.

Con esto en la mano, sabemos que la fuerza sobre uno de nuestros cortes a una profundidad x es

(1000) (9,8) x (2 x – 8) dx = (19600 x ² – 78400 x ) dx .

Dado que nuestra profundidad va de 4 ma 8 m, podemos calcular la siguiente integral para encontrar la fuerza en la ventana.

Por lo tanto, la fuerza total sobre la nueva ventana sería de aproximadamente 1.045.333,33 N.

Resumen de la lección

Para encontrar la fuerza que ejerce un fluido sobre una superficie, usamos la fórmula:

F = ρ gdA

dónde:

ρ es la densidad del agua

g es la aceleración debida a la gravedad

A es el área de la superficie

d es la profundidad de la superficie

Al encontrar la fuerza en el costado de un tanque o en una ventana en el costado de un tanque, la cortamos en infinitas rebanadas rectangulares horizontales. La densidad y la gravedad son constantes y la altura de una de estas rebanadas infinitamente pequeñas es siempre dx . Por lo tanto, si usamos x como la profundidad del tanque, solo necesitamos encontrar el ancho del tanque en términos de x para encontrar toda la información que necesitamos para determinar el área de un corte. Una vez que hayamos encontrado la fuerza en un corte arbitrario, podemos usar una integral para sumar la fuerza de cada corte para encontrar la fuerza total en la superficie.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador