Antiderivadas
Probablemente esté familiarizado con lo que es la derivada de una función como la pendiente de una función en un punto dado o como la tasa a la que los valores y de la función cambian con respecto a los valores x en un punto dado. También puede estar familiarizado con las diversas fórmulas y reglas que podemos usar para evaluar derivadas. Es posible que no esté familiarizado con que las derivadas tienen una especie de deshacer, y eso radica en la antiderivada.
Las antiderivadas se utilizan en muchas aplicaciones útiles, como encontrar áreas, volúmenes y varios puntos de una función. Como su nombre lo indica, estas antiderivadas deshacen las derivadas. Básicamente, si f ( x ) es la derivada de la función F ( x ), entonces F ( x ) + C , donde C es una constante, es la antiderivada de f ( x ). Por ejemplo, la derivada de 2 x es 2, entonces la antiderivada de 2 es 2 x + C , donde C es una constante.
La notación que usamos para indicar la antiderivada de una función f ( x ) es ∫ f ( x ) dx .
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Por ejemplo, la derivada de x 2 + 3 x es 2 x + 3. Esto nos dice que la antiderivada de 2 x + 3 es x 2 + 3 x + C , donde C es una constante. Usando nuestra notación, escribimos lo siguiente:
- ∫ 2 x + 3 dx = x 2 + 3 x + C
Así como tenemos reglas para encontrar varias derivadas, también tenemos reglas para encontrar varias antiderivadas. Esta lección se ocupa principalmente de cómo encontrar la antiderivada del producto de una constante y una función, ¡así que veamos la regla que podemos usar para hacer precisamente esto!
Antiderivada del producto de una constante y una función
Supongamos que acaba de encontrar la primitiva de la función f ( x ) = 5 x 4 para ser F ( x ) = x 5 + C . Regresa para comprobar tu trabajo y te das cuenta de que se suponía que debías encontrar la antiderivada de 2 f ( x ), no f ( x ).
Bueno, ¡mierda! ¿Significa eso que tenemos que empezar de nuevo? Afortunadamente, no. Observe que 2 f ( x ) es el producto de la constante 2 y la función f ( x ). Resulta que, para encontrar la antiderivada del producto de una constante y una función, usamos la siguiente regla:
- ∫ c f ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx
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Es decir, la antiderivada de un producto de una constante y una función es igual a la constante multiplicada por la antiderivada de la función.
Con base en esta regla, podemos simplemente multiplicar la antiderivada de f ( x ) = 5 x 4 , o F ( x ) = x 5 + C , por 2 para corregir nuestro error.
| ∫ 2 f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx | Por la regla |
| 2 ∫ f ( x ) dx = 2 F ( x ) | Porque F ( x ) = ∫ f ( x ) dx |
| 2 F ( x ) = 2 ( x 5 + C ) | Conectando F ( x ) = x 5 + C |
| 2 ( x 5 + C ) = 2 x 5 + C | ¡Esta es nuestra respuesta! |
¡Ta-da! Problema resuelto, y no tuvimos que empezar de nuevo, simplemente tuvimos que multiplicar la antiderivada que ya encontramos por 2, ¡gracias a nuestra regla! Tenemos que la primitiva de 2 f ( x ) es 2 x 5 + C .
Aviso, todavía escribir C para la constante, y no 2 C . Esto se debe a que es cualquier constante, y multiplicarla por 2 solo produciría otra constante, por lo que aún podemos representarla como C , donde C es cualquier constante.
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Básicamente, cuando evaluamos las antiderivadas de una constante y una función usando esta regla, no necesitamos preocuparnos por la constante C en nuestros cálculos, porque es solo un marcador de posición para cualquier constante. De hecho, podemos dejar la C fuera de los cálculos por completo y luego volver a agregarla cuando lleguemos a nuestra respuesta final. ¡Hagamos otro ejemplo trabajando con esta regla!
Otro ejemplo
Tenemos una buena regla para la derivada de la función sin ( x ), y es que la derivada de sin ( x ) es cos ( x ). Esto nos dice que la primitiva de cos ( x ) es el pecado ( x ) + C . Con base en esto, ¿podrías averiguar la antiderivada de 7cos ( x )?
Hmmm … bueno, observe que 7cos ( x ) es el producto de la constante 7 y la función cos ( x ). ¡Ah-ja! Eso significa que estamos tratando de encontrar la antiderivada del producto de una constante y una función. ¡Perfecto, podemos usar nuestra regla! Todo lo que tenemos que hacer es multiplicar la antiderivada de cos ( x ), que sabemos que es sin ( x ) + C por la constante 7.
| ∫ 7cos ( x ) dx = 7 ∫ cos ( x ) dx | Por la regla |
| 7 ∫ cos ( x ) dx = 7sin ( x ) | Conectando ∫ cos ( x ) dx = sin ( x ) |
Por último, simplemente añadimos la constante en conseguir que la primitiva de 7cos ( x ) es 7sin ( x ) + C . ¡Guauu! ¡Esta fórmula seguramente facilita las cosas!
Resumen de la lección
La antiderivada de una función f ( x ) es igual a la función cuya derivada es f ( x ). Es decir, si f ( x ) es la derivada de la función F ( x ), entonces F ( x ) + C , donde C es una constante, es la anti-derivada de f ( x ). La notación que usamos para representar la antiderivada de una función f ( x ) es ∫ f ( x ) dx .
Tenemos muchas reglas y fórmulas diferentes para encontrar diversas antiderivadas. En particular, podemos encontrar la antiderivada del producto de una constante, c , y una función, f ( x ), usando la siguiente regla:
- ∫ c f ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx
En otras palabras, la antiderivada del producto de una constante y una función es igual a la constante multiplicada por la antiderivada de la función. Conocer esta fórmula y cómo aplicarla demuestra ser muy útil en la evaluación de antiderivadas y en aplicaciones de antiderivadas, así que incluyamos esta regla en nuestra caja de herramientas de matemáticas, ¡para que la tengamos a mano para futuros esfuerzos que involucren antiderivadas!
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