Ángulos interiores y exteriores de triángulos: definición y ejemplos

Piezas perdidas

¿Alguna vez trabajó en un rompecabezas, dedicando horas y horas a armarlo, solo para llegar casi al final y descubrir que faltaba una pieza? Tal vez sea una pieza que has estado buscando de forma intermitente durante un tiempo. ‘Tiene que haber una pieza de cielo azul claro en algún lugar aquí …’

Cuando trabajamos con triángulos, a veces nos faltan piezas de rompecabezas. He aquí un ejemplo:

En este triángulo, X es un ángulo interior.

Tenemos un par de ángulos aquí, pero ¿qué es X ? ¿Cómo se supone que lo averigüemos? ¿Dejamos caer la respuesta al suelo? ¿Se lo comió el perro?

Ángulos interiores

Primero, debemos definir qué es X. Si está buscando una pieza faltante del rompecabezas, necesita saber qué es lo que necesita. X es un ángulo interior. Un ángulo interior es un ángulo dentro de una forma. Dado que los triángulos tienen tres ángulos, tienen tres ángulos interiores.

En este triángulo de abajo, los ángulos A , B y C son todos ángulos interiores.

Los ángulos A, B y C son ángulos interiores.

Así como las piezas de un rompecabezas encajan perfectamente, los ángulos interiores de un triángulo deben encajar entre sí.

La suma de los ángulos interiores es siempre de 180 grados. En otras palabras, a + b + c = 180 grados .

Demostremos esto. A continuación se muestran dos líneas paralelas. Agreguemos un triángulo entre ellos. En la parte superior de nuestro triángulo, tenemos tres ángulos basados ​​en nuestra línea. La etiqueta de dejarlos X , Y y Z . Estos tres ángulos forman una línea recta, entonces ¿a qué se suman? 180 grados.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados.

Dado que tenemos una línea paralela en la parte inferior de nuestro triángulo, tenemos ángulos internos alternos. Por lo tanto, el ángulo interior en la parte inferior es también igual a X . Z tiene un ángulo interior alternativo en la parte inferior. Y mira lo que hicimos. Acabamos de demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados.

Problemas de práctica

Bien, lo sabemos. ¿Cómo nos puede ayudar? ¿Recuerdas nuestro rompecabezas? En un triángulo, nunca se puede quedar atrapado con una pieza faltante.

En el triángulo que acabamos de ver arriba, ¿qué pasa si sabemos que el ángulo X es de 35 grados y el ángulo Z es de 60 grados? Oh, hombre, si solo supiéramos el ángulo Y , los conoceríamos a todos. ¡Pero lo hacemos! Es 180 – 35 – 60, que es 85.

Aqui hay otro más:

Triángulo rectángulo, por ejemplo, problema

En este, sabemos que el ángulo X es de 53 grados. Espera, eso es solo un ángulo. Estamos perdiendo piezas de este rompecabezas. ¿Es el gato? ¿El gato está robando piezas? No mires. ¿Ves este símbolo en la parte inferior izquierda? Esto significa que este ángulo es de 90 grados. Entonces, sabemos que tenemos un ángulo de 53 grados y un ángulo de 90 grados. Si restamos 53 y 90 de 180, obtenemos 37 grados. Entonces, el ángulo Y debe ser de 37 grados. Y podemos dejar al gato solo.

Ángulos exteriores

Hasta ahora, hemos estado trabajando con acertijos bastante sencillos. Pero, ¿qué pasa con esos monstruos de 1000 piezas? Bueno, está bien, tal vez así lo llamarías si estuvieras trabajando con un dodecágono o algo así, pero todavía estamos hablando de triángulos. Pero vamos a sacarlo de la caja, o fuera del triángulo. Eso es correcto, ángulos exteriores.

Un ángulo exterior es un ángulo creado por el lado de una forma y una línea que se extiende desde un lado adyacente. En nuestra muestra a continuación, D es un ángulo exterior. Ahora bien, ¿qué sabemos sobre D ? Sabemos que C más D es 180. También sabemos que A + B + C es 180.

D es un ángulo exterior.

Eso significa que a + b = d . Digamos esto para el registro. Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

En nuestro triángulo, podemos utilizar una y B de averiguar D . Si conocemos A es 65 y B es de 70, sólo podemos añadirlos a obtener 135, que debe ser la medida del ángulo D .

Problemas de práctica

Probemos con un problema de práctica. En el triángulo de abajo, sabemos que el ángulo A es de 40 grados. ¡Vaya! ¿Es esto como hacer un rompecabezas con los ojos vendados? No, espera. ¿Ves esas marcas de almohadilla? Aquellos indican que este es un triángulo isósceles. Dos lados y los ángulos opuestos a ellos son iguales. Entonces, B y C son iguales. Eso significa 40 + B + C = 180. Entonces, B + C = 140. Y si B y C son iguales, entonces cada uno es 70. Como A + B = D , sabemos que D es 40 + 70, o 110. También podríamos haber visto que C +D es 180 y, dado que calculamos C , también podríamos haber obtenido D de esa manera.

D es igual a 110 grados.

Resumen de la lección

En resumen, aprendimos que un ángulo interior es un ángulo dentro de una forma, mientras que un ángulo exterior es un ángulo formado por el lado de una forma y una línea trazada desde un lado adyacente.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180. Entonces, si conocemos dos ángulos, siempre podemos encontrar el tercero.

Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

Oh, y nunca encontré ese pedazo de cielo azul …

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería tener la capacidad de:

• Definir ángulos interiores y exteriores
• Explica cómo encontrar ángulos faltantes usando las propiedades de triángulos y ángulos.