Base natural
La base natural , e , a veces se denomina exponente natural. Es la base del logaritmo natural ( ln ), que se puede escribir como log_ e ( x ).
e es una constante cuyo valor aproximado es 2.71828. Se usa ampliamente para calcular problemas de crecimiento y deterioro. A veces se le llama el número de Euler en honor a Leonhard Euler, un matemático suizo en el 1700.
Junto con 0, 1, π e I , e es uno de los cinco números matemáticos principales. Todos ellos juegan papeles importantes y recurrentes en muchas áreas de matemáticas, ciencias y otros campos de estudio.
Propiedades de la Base Natural
Hay ciertas propiedades generales que se aplican a la base natural.
- e ^ ( a + b ) = ( e ^ a ) + ( e ^ b )
- e ^ ( a / b ) = e ^ a / e ^ b
- e ^ ( a ^ b ) = e ^ ( a * b )
e ^ 0 = 1
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e ^ (- a ) = 1 / e ^ a
ln ( e ) = 1
ln ( e ^ x ) = x
Crecimiento y decadencia
La base natural se usa con mayor frecuencia para calcular el crecimiento y la descomposición exponencial, ya sea en bacterias, la descomposición del carbono para la datación por carbono o finanzas como inversiones o ganancias y pérdidas en el mercado de valores.
La ecuación general para problemas de crecimiento y deterioro es A = Pe ^ ( rt )
Dónde:
A = monto final
P = monto inicial
e = base natural = 2.71828
r = tasa (este número será negativo para problemas de descomposición y positivo para problemas de crecimiento).
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t = tiempo
A continuación, se muestran algunos ejemplos de cómo funciona esta ecuación.
1.) El radio-226, un isótopo común del radio, tiene una vida media de 1620 años y una tasa de desintegración de 0,00043. El profesor Johnson tiene una muestra de 120 gramos de radio-226 en su laboratorio. ¿Cuántos gramos de radio-226 quedarán después de 200 años?
Lo primero que notamos sobre este problema es que es un problema de descomposición. La ecuación que usamos no cambiará, pero la tasa será negativa.
Cuando sustituimos los valores que conocemos en la ecuación obtenemos:
A = 120 * e ^ (- 0,00043 * 200)
Entonces simplifica
A = 120 * e ^ (- 0.086)
A = (120) * (0,91759)
A = quedarán 110 gramos del radio-226.
2.) Cierta cepa de bacterias crece en la encimera de su cocina a una velocidad de 0.1386 bacterias por minuto. Suponiendo que comience con una sola bacteria, ¿cuántas bacterias podrían estar presentes después de 60 minutos?
Este es un problema de crecimiento, por lo que la tasa será positiva.
Sustituya valores en la ecuación para obtener
A = 1 * e ^ (0,1386 * 60)
A = e ^ 8.316
A = 4088,7
Habrá 4088 bacterias en el mostrador en una hora.
3.) Invierte $ 10,000 a una tasa del 5%, compuesto mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrás en 4 años?
A = 10000 * e ^ (0,05 * 48)
NOTA: para este problema, dado que la tasa es en términos de meses (compuesto mensualmente), también debemos convertir el tiempo (4 años) a meses (48 meses) para que la ecuación funcione correctamente.
A = 10000 * e ^ 2,4
A = 10000 * 11,02
A = $ 110231.76
Resumen de la lección
La base natural, o e, es una constante matemática que es aproximadamente 2.71828. Tiene una gran aplicación tanto en la inversión como en la resolución de problemas científicos. Generalmente se piensa que e es uno de los cinco números principales en todas las matemáticas.
Los resultados del aprendizaje
Mientras trabaja en la lección, tómese el tiempo para calcular qué tan bien puede:
- Escribe la base natural
- Reconocer las propiedades generales que se le aplican.
- Utilice la ecuación general para problemas de crecimiento y deterioro.
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