Es tu primer día en la cocina y quieres hornear un pastel. ¿Qué pasa si la receta simplemente dice ‘solo agrega mantequilla’? Su respuesta probablemente sería: ‘¡Oye, no hay suficiente información! Necesitamos fórmulas, como tres cucharaditas equivalen a una cucharada. Necesitamos reglas como hornear hasta que esté cocido ‘.
Aunque el cálculo generalmente no se usa para hornear un pastel, tiene reglas y fórmulas que pueden ayudarlo a descubrir las áreas debajo de funciones complejas en un gráfico. En esta lección nos centraremos en las fórmulas y reglas tanto para la diferenciación , el método por el cual calculamos la derivada de una función, como para la integración , el proceso por el cual calculamos la antiderivada de una función.
Mirando la diferenciación
Antes de sumergirnos en fórmulas y reglas para la diferenciación, veamos alguna notación para la diferenciación. Podemos escribir la derivada de una función f ( x ) como:
Los leemos como: d por d x de f de x , f ‘primo de f de x , df de x y cap Df de x .
Aunque estas y otras notaciones se usan para diferenciar, usaremos la d por d x y las notaciones primas en esta lección.
A continuación, se muestran algunas fórmulas de diferenciación:
Es posible que haya notado en la primera fórmula de diferenciación que hay una regla subyacente. Se llama regla de la potencia , que dice que la derivada de x elevada a la potencia n es n veces x elevada a la potencia n menos 1.
Esta regla funciona incluso cuando n no es un número entero. Por ejemplo, la raíz cuadrada de x es x elevada a ½ potencia. Usando la regla de la potencia para la diferenciación, vemos cómo funciona esto en la ecuación de ejemplo aquí:
Como ejemplo, demostremos que la derivada de una constante es consistente con la regla de la potencia notando que x ^ 0 es igual a uno. Cuando diferenciamos la constante C , de hecho estamos diferenciando Cx ^ 0. Lo que está viendo a continuación es lo que queríamos mostrar:
En este último ejemplo, usamos la regla del coeficiente , que establece que la derivada de una constante por una función es esa constante por la derivada de la función.
Aquí hay algunas otras reglas útiles para la diferenciación, como las reglas de producto, cociente y cadena. La regla del producto establece que la derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función. Como ejemplo, consulte la regla del producto en la acción ahora:
También hay una forma de encontrar la derivada de una función dividida por otra función, la regla del cociente , que dice que la derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador todos dividido por el denominador al cuadrado. Puede ver este juego en el siguiente ejemplo:
En lugar de simplemente tener x como argumento de una función, el argumento podría ser otra función. En estos casos, usamos la regla de la cadena , que establece que cuando tenemos una función g ( x ) dentro de una función f, la derivada resultante es la derivada de la función f multiplicada por la derivada de la función g. Puedes ver este juego en este último ejemplo:
Mirando la integración
La notación para la integración toma la forma de:
Leemos esto como: la integral de f de x por d x , que se llama integral indefinida . Por otro lado, una integral definida tendrá un límite inferior y un límite superior que escribimos como:
Leemos esto como: la integral de x 1 ax 2 de f de x por d x .
Aquí hay algunas fórmulas de integración para integrales definidas:
Ahora, consideremos algunas reglas para la integración. La regla del coeficiente establece que la integral de una constante multiplicada por una función es esa constante multiplicada por la integral de la función, como se muestra a continuación:
Al igual que con la diferenciación, existe una regla de poder para la integración. La integral de x elevada a una potencia n es x ^ ( n +1) dividida por ( n +1) más una constante C. Puedes ver esto en nuestro ejemplo a continuación:
La regla de sustitución nos permite simplificar una integral cuando podemos determinar una variable u que puede ser sustituida por una función en la integral.
Veamos otro ejemplo y busquemos las siguientes respuestas que puede ver aquí:
La regla de la integración por partes establece que la integral de u d v es u v menos la integral de v d u .
Por ejemplo, dejando u = x y d v = e ^ x * d x , obtenemos d u = (1) d x = d x y v = e ^ x . A partir de ahí, obtenemos la solución que puede ver aquí:
Resumen de la lección
En cálculo básico, aprendemos reglas y fórmulas para la diferenciación , que es el método mediante el cual calculamos la derivada de una función, y la integración , que es el proceso mediante el cual calculamos la antiderivada de una función. Estas fórmulas nos permiten tratar con potencias de x , constantes, exponenciales, logaritmos naturales, senos y cosenos. Las reglas de diferenciación incluyen las siguientes:
Tiempos constantes una regla de función para diferenciación
Regla de potencia para la diferenciación
Regla de producto para diferenciación
Regla del cociente para la diferenciación
Regla de la cadena para la diferenciación de funciones anidadas
Las reglas de integración incluyen lo siguiente:
Tiempos constantes una regla de función para la integración
