Cálculo de límites que son derivados disfrazados

Límites como derivados disfrazados

En la fiesta de disfraces querrás pedirle a tu amigo Deriv los detalles de su receta de cocina favorita. Pero Deriv está disfrazado como el personaje ficticio del cómic Lim. Si puede identificar a Deriv, obtendrá la información mucho más rápido.

La definición de derivada implica tomar límites. A veces, un problema de límite es en realidad un enunciado de una derivada. En esta lección veremos cómo evaluar los límites en aquellos casos en los que el problema del límite es una derivada disfrazada . Y al igual que con Deriv, hay varios disfraces.

f ‘( x ) en varias formas

Una forma común de definir la derivada f ‘( x ) es con un Δ x :

Reemplazando Δ x con h obtenemos:

En lugar de h , cualquier letra servirá. Como c :

Estas son tres formas de expresar la derivada usando límites.

Disfraces para f ‘( x )

¿Cómo se evalúa un límite? Hay casos en los que la sustitución de Δ x por el valor límite da una respuesta y ya está. Otras veces, la sustitución no funcionará porque da cero en el denominador. Hay otros casos en los que funcionará expandir y simplificar la expresión, pero esta estrategia puede llevar mucho tiempo si las funciones son complicadas. Por ejemplo, evaluando:

El valor límite es cero. Sustituir cero por Δ x da cero en el denominador. Sin embargo, expandir el numerador y simplificar permite que el Δ x en el denominador se cancele:

Esta función no es demasiado complicada, por lo que este enfoque funciona. ¿Qué pasa si 3 ( x + Δ x ) ^ 2 fuera 3 ( x + Δ x ) ^ 5? Simplificar es mucho más complicado. Esta lección trata sobre una mejor manera de encontrar estos tipos de límites identificando f ( x ). Entonces, la respuesta del problema límite es f ‘( x ).

De Verdad? Vamos a revisar. Si f ( x ) es 3 x ^ 2, entonces reemplazar x con x + Δ x significa que f ( x + Δ x ) es 3 ( x + Δ x ) ^ 2. El numerador de nuestro ejemplo es f ( x + Δ x ) – f ( x ), que es la primera de las tres definiciones de la derivada.

La belleza de todo esto es conocer f ( x ).

Con f ( x ) identificado como 3 x ^ 2, la derivada es fácil. La derivada de 3 x ^ 2 es 6 x . ¡Hecho! El límite de apariencia complicada era un derivado disfrazado. El límite se evalúa como 6 x .

Intente evaluar:

Compare esto con f ( x + h) – f ( x ). Quizás la f ( x ) sea x ^ 5 – 2 x . Si esto es cierto, ¿cuál es f ( x + h)?

Reemplaza la x con x + h. El x ^ 5 – 2 x se convierte en ( x + h) ^ 5 – 2 ( x + h) que es ( x + h) ^ 5 – 2 x – 2h. ¿Ves a dónde va esto?

Si f ( x ) es x ^ 5-2 x , entonces f ( x + h) – f ( x ) es ( x + h) ^ 5-2 ( x + h) – x ^ 5 + 2 x que es el numerador de nuestro ejemplo.

¡Bueno! f ( x ) es x ^ 5 – 2 x . La derivada de x ^ 5 – 2 x es simplemente 5 x ^ 4 – 2. ¡Y ya está! Una vez más, el problema del límite era una derivada disfrazada. Solo tenemos que identificar f ( x ) y tomar la derivada de f ( x ) para evaluar el límite. Oh, oh. Parece que nuestro amigo Deriv tiene más variaciones del disfraz de Lim.

Disfraces para f ‘(a)

A veces, la derivada de f ( x ) se evalúa para algún valor de x . Si este valor para x es a , entonces:

Este derivado puede disfrazarse:

Los disfraces para estos problemas pueden ser bastante buenos. Nuestro amigo Deriv es creativo. ¿Qué pasa si f ( x ) es la raíz cuadrada de x ?

Si a es 16, f ( a ) = f (16) = la raíz cuadrada de 16 = 4. ¿Ves el 4 en el ejemplo?

¿Qué pasa con f ( x + Δ x )? Si f ( x ) es la raíz cuadrada de x , entonces f ( x + Δ x ) es la raíz cuadrada de x + Δ x .

Para x igual a a , f ( x + Δ x ) es la raíz cuadrada de a + Δ x .

Para un igual a 16, f ( a + Δ x ) es la raíz cuadrada de 16 + Δ x . ¿Ves cómo f ( a + Δ x ) – f ( a ) es el numerador de nuestra ecuación para f ‘( a )?

Tenemos f ( x ) como la raíz cuadrada de x . Entonces f ‘( x ) es 0.5 ( x ) ^ – (1/2). Y f ‘( a ) es 0.5 ( a ) ^ – (1/2) = 0.5 (16) ^ – (1/2) = 1/8.

Hay un disfraz más para f ‘(a):

Intente evaluar:

Una vez más, este es uno de esos problemas de límite donde la sustitución de x da cero en el denominador. ¿Qué pasa si f ( x ) es sin ( x )? ¿Para qué valor de x sin ( x ) es igual a 1? Sí, para x = 90 o , sin ( x ) es igual a 1. Entonces a es 90 o, que es pi / 2.

f ( x ) – f ( a ) es sin ( x ) – sin (pi / 2) que es igual a sin ( x ) – 1 que es el numerador en el ejemplo de límites. El denominador x – a es x – pi / 2. Tenemos nuestra f ( x ).

Para f ( x ) = sin ( x ), la derivada de f ( x ) es cos ( x ).

Continuando, si f ‘( x ) = cos ( x ) y a es pi / 2, entonces f’ ( a ) = cos (pi / 2) = 0. ¡Hecho! El límite es la derivada de f ( x ) evaluada en x = pi / 2. Nuestro límite es cero. Una vez que vemos a través del disfraz e identificamos la f ( x ), el resto es fácil. De hecho, esto hace que nuestro amigo Deriv se sienta muy feliz.

Resumen de la lección

En algunos problemas de límite, el valor límite puede sustituirse para obtener una respuesta. En otros problemas, esto no es posible porque el denominador será cero. En algunos casos, la definición de la derivada f ‘( x ) se disfraza dentro del problema del límite que conduce a conocer f ( x ) y, por lo tanto, f’ ( x ). Estos problemas se conocen como derivados disfrazados .

Un tipo relacionado de problema de límite involucra la derivada de f ( x ) evaluada con algún valor a . Estos tipos de límites también pueden ser derivadas disfrazadas y una vez que se determina f ( x ), f ‘( x ) se evalúa en x = a .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador