Combinatoria: fórmulas y ejemplos

Combinatoria

Es el trabajo de sus sueños crear recetas. Bueno, tal vez no. Pero si desea explorar variaciones de ingredientes en una receta, puede comenzar con tres especias básicas: comino, orégano y albahaca. ¿Cuántas variaciones de recetas resultan de elegir dos de estas tres especias? ¿Y si decidimos añadir una especia al principio y una segunda al final de la cocción? ¿Cuántas variaciones de recetas? ¿Y si podemos usar la misma especia al principio y al final? Nuevamente, ¿cuántas variaciones de recetas estamos considerando?

Podríamos enumerar todas estas recetas posibles para todos estos casos porque el número es pequeño. Pero, ¿y si tenemos que considerar una selección de especias de un mayor número de especias? Eventualmente, no sería práctico enumerar todas las recetas posibles y contarlas. Ahí es donde entra el campo de la combinatoria . En esta lección, exploraremos fórmulas usando ejemplos. Pero primero, algunas matemáticas básicas.

Cálculos combinatorios típicos

El factorial se expresa como n !. Leemos esto como: n factorial.

Algunos datos sobre el factorical incluyen:

Por ejemplo:

El factorial aparecerá en nuestros cálculos. Aquí está una de esas fórmulas:

Leemos el lado izquierdo como: n toma k . Digamos que n es 5 y k es 2. Luego, obtenemos la fórmula con los valores insertados que ves a continuación y que eventualmente es igual a 10.

Por cierto, también es cierto que:

Podemos mostrar esto en la siguiente fórmula que dice:

Nuestro último tipo de cálculo matemático se expresa con doble paréntesis, como puede ver aquí:

Aquí hay un ejemplo de este desarrollo, que puede ver, en última instancia, es igual a 15.

Ahora podemos explorar cómo usar esta matemática para contar posibilidades.

Contando las posibilidades

Antes de comenzar a usar las fórmulas, contemos las posibilidades para nuestra situación de receta. Luego podemos usar las fórmulas y verificar los resultados.

Para concisión, usaremos C para comino, O para orégano y B para albahaca.

Al determinar el número de opciones posibles cuando seleccionamos k de n , primero decidimos si el orden es importante o no.

Digamos que tenemos esas tres especias y podemos elegir dos para la receta. Se agrega una especia al comienzo del proceso de cocción. La otra especia se agrega al final. Aquí, el orden importa.

Ahora, decidimos si se permite la repetición. Digamos que no hay repetición de la misma variable (que es especia en nuestro caso). Esto se llama una permutación con repetición no permitida . La fórmula viene dada por:

Vamos a enumerar las recetas posibles: ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ), ( O, B ), ( B, O ). Hay seis recetas posibles al elegir 2 de 3 donde el orden importa y no hay repetición.

¿Qué nos da la fórmula? Como podemos ver, se convierte en:

Podemos pensar en esto como tener 3 opciones para la primera especia y 2 opciones para la segunda especia. Esto da 3 x 2 = 6 recetas posibles.

Una permutación con repeticiones permitidas tiene la fórmula:

En el ejemplo de la receta, podrían ocurrir permutaciones con repeticiones si puedes usar la misma especia al principio y al final. La lista de combinaciones de especias ahora es más grande: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( O, C ), ( C, B ), ( B, C ) , ( O, B ), ( B, O ). Hay 9 recetas posibles.

Nuestra fórmula para permutaciones con repeticiones permitidas sería:

Podemos pensar en esta situación como si tuviera 3 opciones para la primera especia y 3 opciones para la segunda especia. Entonces, 3 x 3 = 9 recetas posibles.

Ahora, pasemos a los casos en los que el orden no importa. Cuando el orden no importa y no se permite la repetición, tenemos una combinación sin repetición . La formula es:

En esa receta, digamos que podemos usar 2 de las 3 especias. Si las especias seleccionadas se combinan y agregan una vez, no importa ordenar. Además, si no repetimos la misma especia para nuestra selección de 2 especias, entonces tenemos una combinación sin repetición.

Aquí está la lista de posibles recetas: ( C, O ), ( C, B ), ( O, B ). Hay 3 recetas posibles.

Verifiquemos esto con nuestra fórmula, que, como podemos ver, sale como:

Nuestra cuarta agrupación posible es cuando el orden no importa y se permite la repetición. Esto se llama combinación con repetición . La formula es:

¿Qué pasa si nuestra receta permite dos cucharadas de las tres especias disponibles y podemos usar la misma especia dos veces? Las especias elegidas se mezclan y se agregan de una vez. Aquí, el orden no importa y se permite la repetición. Esta es una combinación con repetición.

La lista de recetas es: ( C, C ), ( O, O ), ( B, B ), ( C, O ), ( C, B ), ( O, B ). Hay 6 recetas posibles.

Como puede ver, nuestra fórmula finalmente nos da:

Mirando más ejemplos

Ejemplo 1

Digamos que tienes una clase con 15 alumnos. De esta clase, nos gustaría formar un grupo más pequeño de tres estudiantes que representarán a toda la clase. Habrá un capitán, un primer ayudante y un segundo ayudante. ¿De cuántas formas podemos elegir este grupo más pequeño?

Solución 1: Aquí importa el orden y no hay repetición de la misma persona. Esta es una permutación con repetición no permitida. Como podemos ver, se convierte en:

Ejemplo 2

Nos gustaría elegir tres bolas de helado para mezclar con nuestro batido. Los sabores disponibles son chocolate, vainilla, pistacho y fresa. ¿Cuántas elecciones podríamos hacer?

Solución 2: Aquí el orden no importa y se permite la repetición. Esta es una combinación con repetición. Podemos ver que esto se convierte en:

Resumen de la lección

Repasemos brevemente. Elegir el número de posibilidades disponibles es el campo de la combinatoria . Cuando el orden importa, tenemos lo que se llama una permutación . Si el orden no importa, tenemos una combinación . También tenemos que considerar si se permiten repeticiones o no. Esto conduce a cuatro fórmulas en este estudio de combinatoria. Las cuatro fórmulas son las siguientes:

Ahora debería tener pocos problemas para descubrir cómo descubrir todas las posibles combinaciones de sabores la próxima vez que vaya a comprar un helado.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador