Cómo construir una trisección de ángulo

Trisección de ángulo

Suponga que está estudiando construcciones con regla y compás en su clase de matemáticas. Este tipo de construcciones implican usar solo una regla sin marcar y una brújula para construir diferentes objetos geométricos. El maestro dice que se demostró en el siglo XIX que es imposible construir una trisección de ángulo usando solo una regla sin marcar y un compás. Espera, ¿un qué?

Una trisección de ángulo es una construcción que toma un ángulo y crea un ángulo que tiene una medida de 1/3 del ángulo original.

Dado que ahora sabe que es imposible construir una trisección de este tipo con una regla y un compás sin marcar, esto lo lleva a preguntarse si es posible hacerlo de otra manera. La respuesta es absolutamente sí, e incluso podemos hacerlo utilizando las dos herramientas mencionadas. Solo necesitamos usar una regla marcada en lugar de una regla sin marcar.

Trisección de un ángulo de Arquímedes

El proceso que podemos usar para construir una trisección de ángulo se llama trisección de ángulo de Arquímedes . Los pasos para esta construcción son los siguientes.

Dado un ángulo, ∠ ABC , haz lo siguiente:

1. Use su regla y compás para construir una línea paralela a la línea BC que pasa por el punto A .

Paso uno

2. Usa la brújula para construir un círculo con centro A y radio AB .

Ste Two

3. En su regla, marque la distancia entre A y B (el radio del círculo), luego maniobre para que podamos dibujar un segmento de línea desde B a un punto D en la línea paralela a BC que interseca el círculo en un el punto E y DE tienen la misma longitud que el AB marcado .

Paso tres

4. El ángulo DBC triseca el ángulo ABC . Es decir,

• m ∠ DBC = (1/3) m ∠ ABC

Bueno, ¡parece mucho más fácil de lo esperado! ¡Tanto es así que puede estar pensando que no está convencido! ¡Esta bien! La mayoría de los matemáticos son difíciles de convencer sin una prueba que respalde una afirmación, así que echemos un vistazo a la prueba de que esta construcción, de hecho, crea una trisección de ángulo.

Prueba de construcción

Para demostrar que esta construcción, de hecho, crea una trisección del ángulo ABC , usaremos los siguientes teoremas:

1. Si dos líneas paralelas están cortadas por una transversal, los ángulos opuestos son iguales.
2. Si dos lados de un triángulo tienen la misma longitud, entonces los ángulos opuestos a esos lados tienen la misma medida.
3. La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.

Bien, ¡demos una oportunidad a esta prueba!

Sea m ∠ DBC = s . Dado que AD y BC son paralelos por construcción, el teorema 1 anterior da que

• m ∠ ADB = ∠ DBC = s .

Considere el triángulo AED . Dado que AE es el radio del círculo que creamos, tiene la misma longitud que DE según nuestra construcción. AE = DE , entonces por el teorema 2 anterior,

• m ∠ EAD = m ∠ ADB = s .

Imagen de la primera parte de la prueba

Por el teorema 3 anterior, tenemos

• m ∠ EAD + m ∠ ADB + m ∠ AED = s + s + m ∠ AED = 2 s + m ∠ AED = 180

Resolver para m ∠ AED usando las dos últimas partes de esta ecuación da

• m ∠ DEA = 180 – 2 s

Dado que ∠ AEB y ∠ AED forman una línea recta, sus ángulos suman 180, por lo que tenemos

• m ∠ AEB + ∠ AED = m ∠ AEB + (180 – 2 s ) = 180

Resolver para m ∠ AEB usando las dos últimas partes de esta ecuación da

• m ∠ AEB = 2 s

Ahora considere el triángulo AEB . Dado que AE y EB son ambos radios del círculo, tienen la misma longitud, por lo que según el teorema 2 anterior,

• m ∠ ABE = m ∠ AEB = 2 s .

Imagen para la última parte de la prueba

Sabemos que ∠ ABE + ∠ DBC = ∠ ABC y ∠ ABE + ∠ DBC = 2 s + s = 3 s , por lo ∠ ABC se trisecado y m ∠ DBC = (1/3) m ∠ ABC .

¡Uf! Eso fue mucho, ¡pero definitivamente prueba que la construcción produce una trisección del ángulo! Ahora estas convencido?

Resumen de la lección

Una trisección de ángulo es una construcción que toma un ángulo y crea un ángulo que tiene una medida de 1/3 de ese ángulo original. Aunque no podemos construir una trisección de ángulo con una regla sin marcar y un compás, podemos construir una con una regla marcada y un compás, ¡y realmente no es difícil de hacer!

Para construir una trisección de ángulo, usamos la trisección de un ángulo de Arquímedes , que toma un ángulo, ∠ ABC , y lo triseca usando una regla marcada y un compás con los siguientes pasos:

1. Construir una línea paralela a la línea BC que pasa por el punto A .
2. Construye un círculo con centro A y radio AB .
3. En su regla, marque la distancia entre A y B (el radio del círculo), luego maniobre para que podamos dibujar un segmento de línea desde B hasta un punto D en la línea paralela a BC que cruza el círculo en un punto E , y DE tiene la misma longitud que el AB marcado .
4. El ángulo DBC triseca el ángulo ABC ( m ∠ DBC = (1/3) m ∠ ABC ).

En cuatro pasos bastante simples, vemos que tenemos una trisección de ∠ ABC . Si bien podemos pensar en las construcciones con regla (marcada y sin marcar) y compás como un método obsoleto para hacer las cosas, ¡vemos que estas dos herramientas son realmente sorprendentes en lo que pueden producir!