Cómo encontrar la medida de un ángulo inscrito

Círculos

Círculos. Están por todas partes. Y son tan bonitos y perfectos y, bueno, redondos. Oh, hombre, mira lo que pasó:

Las líneas del círculo se llaman acordes.

Alguien trazó líneas en nuestro bonito círculo limpio. Bueno, tomemos estos limones de graffiti y hagamos limonada geométrica, por así decirlo.

Ángulos inscritos

A estas líneas las llamamos acordes . Estos no son los acordes que necesitas para tocar la guitarra. En geometría, una cuerda es solo una línea con puntos finales en nuestra curva.

Cuando tenemos dos acordes que comparten un punto final, obtenemos un ángulo. Ese ángulo se llama ángulo inscrito . Podemos definir oficialmente esto como el ángulo formado por puntos en la circunferencia del círculo. En este ángulo de abajo, que llamamos ángulo ACB, el punto C es el vértice y los puntos A y B son los extremos.

C es el vértice y los puntos A y B son los extremos en este ángulo inscrito.

Usando ángulos centrales

Hay dos formas de determinar la medida de los ángulos inscritos. Primero, la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central con puntos finales compartidos. El ángulo central es como el ángulo inscrito, pero en lugar de cuerdas con extremos en la circunferencia, está formado por líneas de radio que se encuentran en el centro del círculo.

Puede ver a continuación cómo las cuerdas que forman el ángulo inscrito parecen llegar al doble de las líneas de radio del ángulo central, así que tiene sentido, ¿verdad? Esto significa que si conoce la medida del ángulo central, simplemente córtelo por la mitad y tendrá su ángulo inscrito.

Puedes usar el ángulo central para encontrar la medida de un ángulo inscrito.

Esto es bastante sencillo, por lo que no nos detendremos en ello. Pero si alguna vez ve una pregunta como esta: “Si el ángulo central AOB mide 80 grados, ¿cuál es la medida del ángulo inscrito ACB?” – Sepa que solo necesita cortar esos 80 a la mitad. Entonces, son 40 grados.

Usando longitudes de arco

El segundo método para encontrar la medida de un ángulo inscrito es un poco más desafiante. Podemos mover el punto C como un tilt-a-whirl, y la medida del ángulo no cambia. Eso significa que si tenemos dos ángulos inscritos que comparten puntos finales, serán congruentes. ¿Por qué es eso cierto? Porque la medida del ángulo no depende de la ubicación del vértice, solo de los extremos.

Ahora, cuando las cuerdas de nuestro ángulo golpean la circunferencia en los puntos A y B, forman un arco. Eso es arco AB:

Arco AB

Y la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco que intercepta.

Soy una persona visual, así que me gusta darle sentido a esto mirando desde un ángulo. ¿Mira aquí?

El ángulo ACB es de 45 grados.

Este ángulo inscrito tiene una cuerda que es un diámetro del círculo. El otro acorde golpea el círculo justo encima del centro. Entonces, el arco AB es un cuarto del círculo. ¿Cuántos grados en total hay en un círculo? 360. ¿Y qué es un cuarto de 360? 90. Entonces, el arco AB es de 90 grados. Y como puede ver, el ángulo ACB es de 45 grados, o la mitad de 90.

Esto también funciona si dibujamos dos acordes como se muestra a continuación para formar un ángulo recto.

Estos extremos forman un arco que es la mitad del círculo.

Observe dónde están esos puntos finales. Forman un arco que es la mitad del círculo o 180 grados. 180 dividido por 2? 90!

Encontrar la medida del arco

Si te piden que encuentres la medida de un ángulo inscrito y te dan la medida del arco que intercepta, estás listo. Simplemente divida por 2. Pero, ¿y si es un poco más complicado?

Mira este:

El ángulo ACB es de 50 grados.

Queremos encontrar el ángulo ACB. Pero todo lo que sabemos es que el arco AC es de 120 grados y el arco BC es de 140 grados. Pero espere, sabemos que la suma de todos los arcos es 360. Entonces, el arco AB es 360 menos 140 y 120. Eso significa que el arco AB es 100 grados. Y luego el ángulo ACB es solo la mitad, o 50 grados.

¿Y este?

El ángulo ACB es de 22 grados.

Esta vez, solo tenemos el arco BC, que es de 136 grados. ¿Y AC? Bueno, espera. No lo necesitamos. Tenga en cuenta que el acorde AC pasa por el centro del círculo. Esto significa que la suma de los arcos AB y BC es 180. Entonces, si BC es 136, entonces AB es 180 menos 136, o 44. Eso significa que el ángulo ACB es la mitad de 44, o 22 grados.

Resumen de la lección

Los ángulos inscritos están formados por dos cuerdas que comparten un punto final, conocido como vértice. Si conocemos la medida del ángulo central con puntos finales compartidos, entonces el ángulo inscrito es solo la mitad de ese ángulo. Si conocemos la medida del arco que intercepta nuestro ángulo inscrito, simplemente lo dividimos por la mitad para obtener la medida del ángulo inscrito. Si no nos dan la longitud del arco interceptado, pero conocemos las longitudes de los otros arcos, podemos determinar la longitud del arco interceptado sabiendo que un círculo tiene un total de 360 ​​grados, mientras que un semicírculo tiene un total de 180 grados. .

Los resultados del aprendizaje

Tendrá la capacidad de hacer lo siguiente después de ver esta lección en video:

• Definir ángulo, cuerda y vértice inscritos
• Explica cómo hallar la medida de un ángulo inscrito usando ángulos centrales y usando longitudes de arco.