Cómo resolver cuadráticas con números complejos como plan de lección de solución

Objetivos de aprendizaje

Después de completar esta lección, los estudiantes podrán

• Reconocer cuándo las ecuaciones cuadráticas tendrán un número complejo como solución usando el discriminante
• Saca la raíz cuadrada de un número negativo usando números imaginarios
• Resolver problemas de polinomios de orden superior utilizando la propiedad del producto cero

Longitud

50-60 minutos

Estándares del plan de estudios

• CCSS.Math.Content.HSN.CN.C.7

Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas.

Instrucciones

Acceder a conocimientos previos

Comience con una breve discusión para verificar con sus estudiantes su comprensión de (1) números imaginarios y complejos, y (2) usando la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones cuadráticas.

Si cree que sus alumnos tienen una comprensión clara de los números complejos e imaginarios, además de resolver ecuaciones cuadráticas, puede omitir la sección Acceso a conocimientos previos y pasar directamente a Usar la lección.

(1) Pida a los estudiantes que comparen y contrasten los números complejos y los números imaginarios en función de su aprendizaje anterior. Con suerte, alguien recordará que los números imaginarios son una construcción matemática, representada por i, en la que sacamos la raíz cuadrada de un número negativo y que los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios.

(2) También puede brindarles a los estudiantes la oportunidad de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática para encontrar puntos donde y = 0 (intersecciones con x).

Usa la lección

Use el video Cómo resolver cuadráticas con números complejos como solución para esta lección.

Parte 1: Revisión

• Mira los primeros 40 segundos del video para repasar los dos conceptos anteriores, deteniéndote para practicar si es necesario.

Mire la siguiente sección del video que presenta al discriminante. Detenga el video a la 1:40 para asegurarse de que los estudiantes incluyan esta información en sus notas. Puede considerar escribir la ecuación del discriminante en la pizarra o papel de póster, junto con las reglas sobre cuántas soluciones habrá.

Antes de pasar a la siguiente sección del video, pregunte a los estudiantes si pueden ver por qué es importante el valor del discriminante y por qué un discriminante negativo conduce a una solución de números complejos. (Debido a que la fórmula cuadrática tomará la raíz cuadrada del discriminante, un discriminante negativo conducirá a un número imaginario como parte de la solución).

Después de ver esta sección, proporcione a los estudiantes una lista de 5 a 10 ecuaciones cuadráticas (dependiendo de cuánto tiempo tenga). Pídales que identifiquen cuántas soluciones y qué tipo de soluciones tendrán estas ecuaciones. Puede usar esta lista de ecuaciones nuevamente en la siguiente parte de la lección. Asegúrese de que la lista incluya varios ejemplos de soluciones con números complejos.

Aquí hay algunas cuadráticas posibles para usar.

Discriminante negativo:

x 2 ? 3x + 4

x 2 – 3x + 6

3x 2 + 4x + 2

Discriminante es igual a cero:

? 4x 2 + 12x? 9

x 2 – 6x + 9

9x 2 + 12x + 4

Discriminante positivo:

2x 2 ? 11x + 5

x 2 – 2x – 8

x 2 – 2x – 4

Parte 2: Soluciones con números complejos

Mire el video desde 1:40 hasta 3:04 para ver cómo un discriminante negativo da como resultado una solución de números complejos. Puede hacer una pausa a lo largo de esta sección y pedir a los alumnos que intenten resolver antes que el narrador.

Haga que los estudiantes usen una de las ecuaciones de su lista que determinaron que tiene soluciones de números complejos y que usen el método del video para resolver esa ecuación. Ya deberían saber que están buscando dos soluciones complejas, pero recuérdeles que hay dos raíces para estos problemas, ambos números complejos.

Haga una pausa aquí para determinar si sus estudiantes necesitan más práctica con soluciones de números complejos a las cuadráticas. Si es así, pueden responder preguntas adicionales de la lista proporcionada.

Parte 3: Polinomios de orden superior

Una vez que los estudiantes hayan dominado las cuadráticas, mire la sección restante del video para ver cómo los números complejos podrían estar involucrados en polinomios no cuadráticos. La revisión del video comienza a las 5:21, siéntase libre de reproducirlo por separado.

Proporcione un ejemplo adicional para que los estudiantes practiquen y asegúrese de que los estudiantes puedan hacer lo siguiente.

Ejemplo: y = (x + 4) 2 (x 2 -5)

1. ¿Cómo nos ayuda la propiedad del producto cero a resolver esta ecuación?
2. ¿Cuántas raíces tiene este polinomio?
3. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación?

Parte 4: Revisión

Termina el video viendo la reseña. Puede pedirles a los estudiantes que escriban en las notas parte del vocabulario clave si se perdieron durante la lección o el aprendizaje específico que quieren recordar al ver este video.

Posibles términos clave

• Raíz
• Ecuación cuadrática
• Solución a la ecuación cuadrática
• Número imaginario
• Número complejo
• Discriminante
• Polinomio
• Solución de polinomio

Verificar comprensión

Asigne el cuestionario para que esta lección se complete digitalmente o se distribuya en papel.

Posibles preguntas de discusión

Estas preguntas se pueden trabajar a lo largo de la lección.

• ¿Qué es un número imaginario? Pregunte a sus alumnos si pueden explicar qué es un número imaginario con sus propias palabras. Deje que se respondan un poco el uno al otro. Esto no tiene por qué llevar mucho tiempo, solo intente que los estudiantes se adapten al concepto.

También puede darle la vuelta a esta pregunta. Pregunte a los estudiantes qué es un número real. ¿Dónde existen los números reales? Esta podría ser una forma de lanzarse a una discusión sobre la teoría de las formas de Platón, o si las matemáticas son descubiertas o inventadas por humanos.

• ¿Por qué podrían tener estos impactos en el mundo real? Pregunte a sus alumnos si pueden imaginar por qué los números complejos e imaginarios se pueden aplicar a problemas del mundo real.

Si se siente cómodo, puede compartir ejemplos de fenómenos del mundo real que se describen con precisión mediante números complejos, como la electrónica y el electromagnetismo. También puede explicar que muchos problemas de ingeniería requieren resolver ecuaciones difíciles y, a veces, la forma más fácil de resolver esas ecuaciones puede ser generar una lista de números complejos. Puede reducir las soluciones complejas para encontrar soluciones solo con números reales más adelante, pero los números complejos son útiles en el camino.

• ¿Cómo puede la música hip-hop enseñarnos sobre números complejos? Pregunte a los estudiantes si pueden descubrir cómo los productores de hip-hop usan números complejos en sus temas instrumentales.

Los samplers toman una función de onda del sonido y realizan múltiples efectos sobre ellos al mismo tiempo para transformar la forma en que suenan. Esto es similar a tomar un número y multiplicarlo (por ejemplo) por otros dos términos al mismo tiempo, ¡como usar números complejos!

• ¿Por qué resolver ecuaciones cuadráticas en primer lugar? Pida a los estudiantes que consideren por qué las ecuaciones cuadráticas podrían ser útiles en el mundo real.

Una forma de hacerlo podría ser asignar una lectura o pedir a los estudiantes que investiguen la historia de las ecuaciones cuadráticas, que se remontan a los babilonios hace más de 5000 años.

Lecciones relacionadas

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Cómo usar la fórmula cuadrática para resolver una ecuación cuadrática