Gráficos
¿Has visto alguna vez un gráfico de la explosión de la población humana en la Tierra que cubra los cientos de años de historia humana? El diagrama 1 muestra la población de Karachi, Pakistán, desde mediados del siglo XIX hasta la actualidad.
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Podemos ver que la población era aproximadamente lineal hasta 1940, y luego crece exponencialmente en parte debido a la medicina moderna y las técnicas agrícolas. La magnitud de una función es qué tan rápido crece una función. Imagina que cada gráfico ha sido ampliado y convertido en un gráfico físico real. Ahora imagina caminar por la gráfica de la función. ¿La pendiente por la que tiene que caminar aumentará gradualmente a medida que se mueve en la dirección x o se empinará rápidamente? Repasemos cinco tipos de funciones, desde la menor magnitud de crecimiento hasta la mayor magnitud de crecimiento, y analicemos cómo crecen.
Funciones trigonométricas
Los gráficos tangentes repiten el mismo patrón desde el infinito negativo al infinito positivo. El gráfico crece muy rápidamente en un pequeño rango x desde el infinito negativo en la dirección y hasta la derecha alrededor de y = 0. Alrededor de y = 0, el gráfico se vuelve lineal y luego, un poco más allá de y = 0, el gráfico crece rápidamente hacia el infinito positivo en la dirección y. El diagrama 2 muestra la gráfica de y = tan (x).
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Las funciones trigonométricas seno y coseno son idénticas en la forma en que son una onda que va desde el infinito negativo al infinito positivo. Están desfasados en 90 °. El diagrama 3 muestra y = sin x.
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Dado que las funciones trigonométricas son oscilaciones, en realidad no están «creciendo» y, por lo tanto, no se incluyen en la comparación de la magnitud de las funciones. Veamos la magnitud más baja de una función, que es la función logarítmica.
Funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas comienzan con pendientes pronunciadas y luego disminuyen gradualmente para no tener pendiente. El diagrama 4 muestra la gráfica de una función logarítmica.
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Este gráfico crece muy rápidamente alrededor del origen y luego muy rápidamente no alcanza ningún crecimiento, que continúa como una línea plana hasta el infinito. El siguiente orden superior de la magnitud de las funciones es la función lineal. Veamos cómo funcionan las funciones lineales.
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Funciones lineales
Mirando hacia atrás en el gráfico de crecimiento de Karachi que discutimos anteriormente, podemos ver el crecimiento lineal de la población desde mediados del siglo XIX hasta 1940. Esto significa que el crecimiento fue constante. En otras palabras, la gráfica es una línea con pendiente constante. El diagrama 5 muestra el gráfico de una función lineal.
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En nuestro viaje a través de cinco magnitudes de funciones, nuestra siguiente parada es la función polinomial.
Funciones polinomiales
El prefijo » poli » significa » muchos », lo que significa que estamos tratando con una función con muchos términos. Por ejemplo, un polinomio es y = 2x 2 – 3x. El primer término es el 2x 2 y el segundo término es el -3x. La gráfica de este polinomio se muestra en el Diagrama 6.
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Las gráficas de polinomios aumentan hacia el infinito a una tasa de aceleración en comparación con las funciones lineales basadas en el orden de la función. En el caso de y = 2x 2 – 3x, el orden de la función es de segundo orden porque el mayor exponente de la variable es dos. La última función que discutiremos es la función exponencial.
Funciones exponenciales
Terminemos la comparación de las magnitudes de funciones con el gráfico de la población en Karachi, Pakistán. El diagrama 7 muestra este gráfico.
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La pendiente del gráfico comienza relativamente baja, pero se empina rápidamente. Las pendientes de las líneas tangentes (líneas lineales que tocan la curva en un punto) se empinan a un ritmo más rápido que las funciones polinomiales. Esto clasifica a la función exponencial como la función con la mayor magnitud de crecimiento.
Resumen de la lección
La magnitud de una función es qué tan abruptamente crece. Es más fácil mirar el gráfico de la función para ver cómo crece. El orden de las gráficas desde la menor magnitud de crecimiento hasta la mayor magnitud de crecimiento es:
- Funciones trigonométricas (estas realmente no se consideran porque oscilan a lo largo del eje x).
- Las funciones logarítmicas crecen hasta cierto punto y luego no crecen en absoluto.
- La función lineal crece a una tasa constante.
- Las funciones polinomiales crecen más rápido que las funciones lineales y su orden (exponente más alto en la variable) determina la magnitud del crecimiento.
- Las funciones exponenciales crecen más rápido. El crecimiento de la población humana es una función exponencial.
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