Comprensión de los límites mediante pruebas de Epsilon-Delta

Publicado el 24 noviembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Pruebas Epsilon-Delta

Tu amigo te da dos candados, que están vinculados entre sí. Tener una llave te permitirá desvincular las cerraduras. Los vínculos entre los límites de función y los valores de x funcionan de la misma manera.

En una declaración de límite, el valor al que nos acercamos está vinculado a cómo evaluamos la función en este valor. A veces, el valor al que nos acercamos no está definido por la función. En estos casos, podemos desbloquear el concepto de límite utilizando pruebas épsilon-delta .

Por ejemplo, veamos una función particular definida para todos los valores de x excepto en x = 5. En x = 5, esta f ( x ) no está definida. Para f ( x ) = 4 x , esta es una línea recta con un agujero.


Línea con un agujero en ella
f (x)

Nos gustaría saber f ( x ) cuando x se acerca a 5. En otras palabras, buscamos el valor de 4 x en el límite cuando x llega a 5. A este valor lo llamaremos ‘L’. Hay una forma concisa de decir todo esto. Queremos encontrar el límite L para que:

límite

Recuerde, x = 5 no es un valor permitido para esta función. De lo contrario, simplemente evaluaríamos f ( x ) en x = 5.

La prueba Epsilon-Delta

Para ‘desbloquear’ este concepto de límite, usamos la prueba épsilon-delta.


Valores para x
valores x

Exploramos valores para x entre 5-δ y 5 + δ. El δ (lea esta letra griega como ‘delta’) es un número positivo. Podríamos escribir esto con desigualdades como:

5-δ < x <5 + δ

Podríamos hacer esto aún más compacto restando 5 de cada término:

  • 5-δ – 5 < x – 5 <5 + δ – 5
  • -δ < x – 5 <δ
  • Utilizando signos de valor absoluto: | x – 5 | <δ

Valores absolutos

Es | x – 5 | <δ realmente lo mismo que -δ < x – 5 <δ?

Esa es la belleza del signo de valor absoluto. Por ejemplo, si tuviéramos | x | <2, entonces podríamos escribir: -2 < x <2.

Vea algunos valores positivos y negativos para x :

  • Si x = 1, entonces -2 <1 <2 y | 1 | <2.
  • Si x = -1, entonces, -2 <-1 <2 y | -1 | es +1, que es menor que 2.

En resumen, | x – 5 | <δ es lo mismo que -δ < x – 5 <δ, lo que significa 5 – δ < x <5 + δ.

Un rango de valores para f ( x )

Comenzamos con una ϵ (lea esta letra griega como ‘épsilon’), que es un número mayor que cero y un valor de δ. Esto define valores para x , que dan af ( x ) dentro de un intervalo de L – ϵ y L + ϵ. Usando signos de desigualdad podemos escribir:

L – ϵ <f ( x ) <L + ϵ.


Cómo se relaciona Delta con épsilon
relacionando épsilon y delta

Decir L – ϵ <f ( x ) <L + ϵ es lo mismo que decir -ϵ <f ( x ) – L <ϵ, que es lo mismo que | f ( x ) – L | <ϵ.

Para recapitular, diciendo

límite

significa elegir qué tan cerca queremos estar de L especificando un ϵ con | f ( x ) – L | <ϵ. Luego elegimos nuestro valor x para que | x – 5 | <δ.

La idea detrás de la prueba épsilon-delta es relacionar δ con ϵ. Hagamos esto para nuestra función f ( x ) = 4 x .

Si L fuera el valor encontrado al elegir x = 5, entonces f ( x ) sería igual a 4 (5) = 20. Sabemos que f ( x ) no existe en x = 5 pero el límite puede existir.

  • Empiece con | f ( x ) – L | <ϵ para obtener: | f ( x ) – 20 | <ϵ.
  • Sustituyendo f ( x ), obtenemos: | 4 x – 20 | <ϵ.
  • Esto nos da: -ϵ <4 x – 20 <ϵ.
  • Dividir entre 4: -ϵ / 4 < x – 5 <ϵ / 4.
  • Compare -ϵ / 4 < x – 5 <ϵ / 4 con -δ < x – 5 <δ. ¿Ves el x – 5 en ambas expresiones?
  • Concluimos: δ = ϵ / 4.

Si elegimos una ϵ para acercarnos a L, podemos calcular ϵ / 4 y elegir una x entre 5 – ϵ / 4 y 5 + ϵ / 4.

Por ejemplo, si decimos que ϵ es 2, entonces el límite está entre L – 2 y L + 2, entonces podemos elegir una x entre 5 – 2/4 y 5 + 2/4, que es una x entre 4 ½ y 5 ½. ¿Esto tiene sentido?

Si x es 4 ½, f ( x ) = 4 (4 ½) = 18.

Si x = 5 ½, entonces f ( x ) = 4 (5 ½) = 22. La L está entre 18 y 22 cuando x está entre 4 ½ y 5 ½.

En general, se nos pedirá el límite de f ( x ) cuando x se aproxima a ‘a’. La discusión épsilon-delta dice que para cualquier ϵ, podemos escribir | f ( x ) – L | <ϵ y poder especificar un δ para que | x – a | <δ.

Resumen de la lección

El límite L de una función f ( x ) es el valor de la función cuando x es igual a un valor particular de interés. Este límite L puede existir incluso cuando la función en sí no esté definida en el valor x de interés.

Comprender los límites con el método de prueba épsilon-delta es particularmente útil en estos casos. Primero, especifique un intervalo que contenga el valor de x de interés usando una variable δ. Un intervalo correspondiente para f ( x ) está definido por una variable ϵ de modo que el intervalo en f ( x ) contiene el límite. En la demostración, encontramos la relación entre δ y ϵ.

El intervalo en f ( x ) se puede hacer tan pequeño como queramos y aún contener el límite L; nos permite especificar los valores correspondientes para x . A medida que el intervalo en x llega a cero, la propia x se acerca al valor de x de interés y f ( x ) se acerca al límite.

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