Cuadriláteros inscritos en un círculo: teorema de ángulos opuestos

Cuadriláteros cíclicos

¿Alguna vez has mirado tu libro de geometría y has pensado: ‘Oye, sabes lo que necesitan estas imágenes? ¡Más formas! ¿No? Bueno, incluso si nunca lo pensó, eso es lo que obtendrá en esta lección: acción de doble forma con círculos y cuadriláteros.

Un cuadrilátero es cualquier forma con cuatro lados y cuatro ángulos. Los cuadriláteros incluyen cuadrados, rectángulos, trapezoides y simplemente formas aleatorias que tienen cuatro lados y cuatro ángulos.

Ahora imagina tratar de dibujar un círculo alrededor de cada una de estas formas. ¿Ves cómo algunos de ellos tocan el círculo con las cuatro esquinas, mientras que otros tienen una o dos esquinas que simplemente están flotando? Si puede dibujar un círculo alrededor del cuadrilátero para tocar las cuatro esquinas de la forma con el exterior del círculo, se llama inscribir el cuadrilátero en el círculo.

Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero inscrito en un círculo. No todos los cuadriláteros son cíclicos. Pero algunos de ellos lo son.

Teorema de ángulos opuestos

Pero, ¿por qué querría alguien dibujar un círculo alrededor de un cuadrilátero? ¿Por qué importa si el cuadrilátero es cíclico o no? Porque si puedes inscribirlo en un círculo, sabes algo sobre el cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos son suplementarios.

Si un par de ángulos son suplementarios , eso significa que suman 180 grados. Entonces, si tiene algún cuadrilátero inscrito en un círculo, puede usarlo para ayudarlo a calcular las medidas de los ángulos.

Problema de ejemplo

Ahora veamos un problema de ejemplo en el que ese conocimiento puede ayudarlo a obtener la respuesta.

Si D = 3E y el triángulo AFB es equilátero, ¿cuál es la medida del ángulo C?

Podemos ver que esto es básicamente un cuadrilátero con una línea en el medio que lo divide en dos triángulos. Dado que es un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos deben ser suplementarios. En este dibujo, tenemos dos pares de ángulos opuestos:

• A + D = 180
• ( F + E ) + ( B + C ) = 180

También sabemos que si el triángulo AFB es equilátero, entonces todos los ángulos son iguales a 60 grados. Al introducir estos valores en la ecuación de ángulos suplementarios, podemos decir que 120 + C + E = 180.

También sabemos que C + E + D = 180, porque todos los ángulos de un triángulo suman 180. El problema nos dice que D = 3 E . Si sustituimos 3 E por D en la ecuación del triángulo, obtenemos C + E + 3 E = 180, o C + 4 E = 180.

Reorganizar que sólo un poco, para que se lea C = 180 – 4 E . Ahora podemos sustituir C en nuestra ecuación original: 120 + (180 – 4 E ) + E = 180. Simplificaremos: 120 – 3 E = 0. 3 E = 120. E = 40.

Recuerde que el problema nos dijo que D = 3 E . Si E = 40 grados, entonces D = 120, y como E + D + C = 180, entonces C = 20 grados. Esto responde a la pregunta original, que era encontrar el valor de C .

Podemos comprobar sumando los ángulos suplementarios: ( F + E ) + ( B + C ) = 60 + 40 + 60 + 20 = 180.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre los cuadriláteros y una propiedad especial de los cuadriláteros cíclicos. Un cuadrilátero es cualquier forma con cuatro lados y cuatro ángulos. Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero inscrito en un círculo. Los cuadriláteros son cíclicos si puedes dibujar un círculo alrededor de un cuadrilátero de modo que cada esquina del cuadrilátero se encuentre en el círculo; esto se llama inscribir el cuadrilátero en un círculo. No todos los cuadriláteros son cíclicos, pero muchos de ellos lo son.

En los cuadriláteros cíclicos, los ángulos opuestos son suplementarios , lo que significa que suman 180 grados. Puede usar esta propiedad para resolver problemas sobre cuadriláteros que resultan ser cíclicos. Y realmente, ¿por qué tendrías un problema de geometría con solo un cuadrilátero cuando podrías tener un cuadrilátero, un círculo e incluso algunos triángulos por diversión?

Términos clave

• cuadrilátero: cualquier forma con cuatro lados y cuatro ángulos
• inscribir: el proceso de dibujar un círculo alrededor del cuadrilátero para tocar las cuatro esquinas de la forma con el exterior del círculo
• cuadrilátero cíclico: un cuadrilátero inscrito en un círculo
• suplementario: ángulos opuestos que suman 180 grados

No todos los cuadriláteros son cíclicos, ya que las cuatro esquinas de la forma deben tocar el círculo.

Resultado de aprendizaje

Comience la lección con el objetivo de aprender a usar el teorema de los ángulos opuestos para encontrar el ángulo de un cuadrilátero cíclico.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador