Demostrar el teorema del tercer ángulo

El teorema del tercer ángulo

Probablemente ya estés bastante familiarizado con los triángulos. Después de todo, has estado jugando con bloques triangulares desde el preescolar y ahora has aprendido mucho sobre su longitud, área y perímetro. Pero, ¿qué pasa con esos molestos ángulos? ¿Sería demasiado para ellos ser como triángulos 45-45-90 o 30-60-90? Al menos de esa manera podría recordar todo lo que alguna vez necesitó para lidiar con ellos.

En esta lección, vamos a hacer que lidiar con triángulos y sus ángulos difíciles sea un poco más fácil. Vamos a probar el teorema del tercer ángulo , que establece que si estás comparando dos triángulos y cada uno tiene dos ángulos que son iguales a un ángulo en el triángulo diferente, entonces el tercer ángulo de cada uno tendrá el mismo valor.

Todos los triángulos tienen 180 grados

Comencemos revisando quizás el hecho más básico sobre los triángulos con respecto a sus ángulos. Si sumara los valores de los tres ángulos en cualquier triángulo en un plano, siempre obtendría 180 grados. No me importa cómo se ve el triángulo, si es agudo, obtuso, recto o incluso escaleno. Si suma los valores de los tres ángulos, siempre obtendrá 180 grados.

De hecho, la única vez que cambia es si de repente colocas ese triángulo en algo que no es un plano; sin embargo, el tipo de matemáticas que se usa para resolver esos triángulos solo es realmente útil para ingenieros y profesores de matemáticas, ¡así que no tenemos que preocuparnos por eso aquí!

Entonces, una última vez, ¿cuántos grados es la suma de las tres medidas de un triángulo? Eso es correcto, 180.

Similitud de triángulos

Ahora, eso no es lo único que tenemos que revisar. Antes de profundizar más, asegurémonos de que comprende lo que se entiende por el término ” triángulo similar “. Por similar, quiero decir que los triángulos tienen los mismos valores de ángulo. Un triángulo 30-60-90 es similar a cualquier otro triángulo 30-60-90. Cuando digo que los ángulos son similares, quiero decir que son iguales. Ahora, veamos un ejemplo para probar esto.

Ejemplo

Digamos que estabas tratando de resolver dos triángulos llamados ABC y XYZ. Las letras de ambos se refieren a los tres ángulos del triángulo. El ángulo A tiene un valor de 45 grados, mientras que el ángulo B tiene un valor de 30 grados. Mientras tanto, el ángulo X también tiene un valor de 45 grados y el ángulo Y también tiene un valor de 30 grados. Entonces, ¿estos dos triángulos son similares?

Para estar seguros, necesitamos resolver los valores del ángulo C y el ángulo Z. Para encontrar el valor de C, resta 45 y 30 de 180. Recuerda que 180 es el número de grados en cualquier triángulo. Haz eso y obtendrás 105 grados; ese es el valor del ángulo C.

Ahora, pasemos al ángulo Z. Nuevamente, el número total de grados en un triángulo es 180, así que resta 30 y 45 para representar los ángulos X e Y. Terminas con una respuesta de 105 grados. Por lo tanto, estos triángulos son similares porque los ángulos de A, B y C son los mismos que los ángulos de X, Y y Z, respectivamente.

Un conocido y dos desconocidos

Ese fue un ejemplo bastante fácil, así que probemos uno que sea un poco más difícil para asegurarnos de que entiendes las matemáticas. Digamos ahora que estás mirando los dos triángulos DEF y NOP. Nuevamente, cada letra representa un ángulo en cada triángulo. El valor del ángulo D es 20, mientras que el valor del ángulo E es 120. Mientras tanto, el valor del ángulo N también es 20, pero el valor del ángulo O es 40. En este, debes calcular los valores de los ángulos F y P para resolver el triángulo.

Nuevamente, incluso si no lo parece, se aplican las mismas matemáticas. Eso significa que para el triángulo DEF, restamos los valores de los ángulos menos conocidos de 180. Eso nos da una respuesta de 40. Hacemos lo mismo para el triángulo NOP, lo que nos da un valor de 120.

Con eso, podemos decir que los valores de los ángulos en cada triángulo son 20, 40 y 120. No se desanime porque las letras están fuera de orden. Dado que los valores de los ángulos aún coinciden, los triángulos siguen siendo similares.

Resumen de la lección

En esta lección, probamos la validez del teorema del tercer ángulo para resolver triángulos. La base de esta regla consiste en recordar que un triángulo siempre tiene una suma de ángulos interiores igual a 180 grados. En nuestro primer ejemplo, probamos las matemáticas en juego y en el segundo, probamos el teorema.