El sistema axiomático
¿Qué es exactamente un sistema axiomático? Sé que suena como una palabra importante para un sistema complicado, pero en realidad no es tan complicado. Definido, un sistema axiomático es un conjunto de axiomas que se utilizan para derivar teoremas. Lo que esto significa es que para cada teorema en matemáticas, existe un sistema axiomático que contiene todos los axiomas necesarios para probar ese teorema. Un axiomaes una declaración que se considera verdadera y no requiere prueba. Se considera el punto de partida del razonamiento. Los axiomas se utilizan para probar otras afirmaciones. Son verdades básicas. Por ejemplo, la afirmación de que todos los ángulos rectos son iguales entre sí es un axioma y no requiere prueba. Sabemos que todos los ángulos rectos son iguales entre sí y no discutimos ese punto. En cambio, usamos esta información para probar otras cosas. Una colección de estos enunciados básicos y verdaderos forma un sistema axiomático.
La asignatura que estás estudiando en este momento, la geometría, se basa en realidad en un sistema axiomático conocido como geometría euclidiana. Este sistema tiene solo cinco axiomas o verdades básicas que forman la base de todos los teoremas que está aprendiendo. Todo se remonta a estos cinco axiomas. ¿Qué son? Déjame decirte.
1. Se puede trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
2. Un segmento de línea se puede extender infinitamente en ambas direcciones.
3. Un círculo se puede describir con un centro y un radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una línea que cruza dos líneas forma ángulos interiores de menos de 90 grados, entonces las dos líneas se intersecarán en el mismo lado que los ángulos que tienen menos de 90 grados. El quinto axioma también se conoce como postulado paralelo.
Los sistemas axiomáticos también tienen tres propiedades diferentes.
Consistencia
La primera propiedad se llama consistencia . Cuando un sistema axiomático es consistente, entonces el sistema NO podrá probar tanto un enunciado como su negación. El sistema consistente probará la afirmación o su negativa, pero no ambas. Si lo hiciera, entonces se contradeciría. Por ejemplo, si un sistema axiomático pudo probar el enunciado ‘los cuadrados están hechos de dos triángulos’ así como el enunciado ‘los cuadrados no están hechos de dos triángulos’, entonces el sistema no es consistente. El sistema en realidad se contradice. No puedes confiar en el sistema. Debido a esto, esta propiedad es un requisito para un sistema axiomático.
Independencia
La siguiente propiedad es la independencia . Se dice que los axiomas en un sistema axiomático son independientes si el axioma no puede derivarse de los otros axiomas en el sistema. Si puede usar algunos de los axiomas para probar otro axioma en el sistema, entonces el sistema no es independiente porque una de las declaraciones depende de las otras declaraciones. Mire hacia atrás en los cinco axiomas de la geometría euclidiana, por ejemplo, y verá que este sistema axiomático particular es independiente ya que ninguno de los cinco axiomas puede ser probado por los otros cuatro. Un sistema axiomático no tiene por qué ser independiente. Puede ser dependiente o independiente, por lo que esta propiedad, a diferencia de la propiedad de consistencia, no es un requisito para un sistema axiomático.
Lo completo
La tercera propiedad es la completitud . Un sistema axiomático completo es un sistema en el que para cualquier enunciado, el enunciado o su negativo se puede probar utilizando el sistema. Si hay alguna afirmación que el sistema no puede probar o refutar, entonces el sistema no está completo. Como puede ver, esta es una propiedad bastante grande para llenar. Es por eso que la integridad tampoco es una propiedad requerida. Esta propiedad es difícil de cumplir para cualquier sistema axiomático.
Resumen de la lección
¿Así que, qué hemos aprendido? Hemos aprendido que un sistema axiomático es un conjunto de axiomas que se utilizan para derivar teoremas donde un axioma es un enunciado que se considera verdadero y no requiere una prueba, una verdad básica. La geometría euclidiana con sus cinco axiomas constituye un sistema axiomático. Las tres propiedades de los sistemas axiomáticos son coherencia, independencia e integridad. Un sistema consistente es un sistema que no podrá probar tanto un enunciado como su negación. Un sistema consistente no se contradice. Un axioma independiente en un sistema es un axioma que no puede derivarse ni probarse a partir de los otros axiomas del sistema. Un completosistema es un sistema que puede probar o refutar cualquier afirmación. De las tres propiedades, solo la propiedad de consistencia es un requisito de los sistemas axiomáticos.
Los resultados del aprendizaje
Cuando esto se haya estudiado a fondo, es posible que pueda:
- Compare un axioma con un sistema axiomático
- Recuerda las propiedades de un sistema axiomático
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