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Encontrar derivadas de sumas, productos, diferencias y cocientes

Publicado el 24 noviembre, 2020

Trabajar con derivados

Suponga que tiene un trabajo para una empresa que fabrica automóviles. Su jefe le dice que está trabajando en una pieza de automóvil, y un cierto aspecto puede ser representado por una de las siguientes cuatro funciones.

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Se le dice que necesita poder encontrar la pendiente de cada una de estas funciones para cualquier valor dado de x . Recuerda que la derivada de una función representa la pendiente de esa función en cualquier punto dado. ¡Excelente! Todo lo que tienes que hacer es encontrar la derivada de cada una de estas funciones y tu jefe será un campista feliz.

Observa cada una de las funciones y se da cuenta de que la primera función es una suma de funciones, la segunda función es una diferencia de funciones, la tercera función es un producto de funciones y la cuarta función es un cociente de funciones. Por lo tanto, queremos ver cómo encontrar la derivada de una suma, diferencia, producto y cociente. ¡Empecemos!

Derivada de una suma

Al calcular la derivada de una suma, simplemente tomamos la suma de las derivadas. Esto se ilustra en la siguiente fórmula.

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La primera función con la que su jefe quiere que trabaje es la suma de dos funciones. Por lo tanto, para encontrar la derivada de esta función, simplemente tomamos la suma de las derivadas. Para hacer esto, necesitamos reconocer que la derivada de x 2 es 2 x , y la derivada de 4 x es 4. Ahora simplemente conectamos nuestra fórmula y tenemos nuestra derivada.

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Vemos que la derivada de la primera función es f ‘( x ) = 2 x + 4.

Derivada de una diferencia

La segunda función, g , es una diferencia de funciones. Cuando queremos encontrar la derivada de una diferencia, simplemente encontramos la diferencia de las derivadas. Es similar a la regla de la suma y se muestra en la siguiente fórmula.

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Para usar nuestra fórmula en nuestro ejemplo, solo necesitamos saber que la derivada de 3 x 3 es 9 x 2 , y la derivada de 5 x 2 es 10 x . Una vez más, simplemente nos conectamos a nuestra fórmula.

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Usando nuestra fórmula, hemos encontrado que la derivada de la segunda función es g ‘( x ) = 9 x 2 – 10 x .

Derivado de un producto

Ahora las cosas se ponen un poco más complicadas. La tercera función es un producto de las funciones x e ln ( x ). Cuando queremos encontrar la derivada de un producto, usamos la regla del producto para las derivadas.

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Por lo tanto, para encontrar la derivada de nuestra función h en nuestro ejemplo, necesitamos saber que la derivada de x es 1 y la derivada de ln ( x ) es 1 / x , y entonces solo necesitamos usar nuestra fórmula.

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Vemos que la derivada de la tercera función es h ‘( x ) = ln ( x ) + 1.

Derivada de un cociente

La última función es un cociente. Una vez más, tomar la derivada de un cociente es un poco más complicado que simplemente tomar el cociente de las derivadas. También tenemos una regla del cociente para las derivadas, y es la siguiente.

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Para usar la regla del cociente para encontrar la derivada de j , necesitamos conocer la derivada de x y ln ( x ). De hecho, ya los conocemos del último problema. La derivada de x es 1 y la derivada de ln ( x ) es 1 / x . Todo lo que tenemos que hacer ahora es conectar nuestra fórmula y simplificar.

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Hemos encontrado que la derivada de la última función es j ‘( x ) = (1 – ln ( x )) / x 2 .

Ahora hemos encontrado todas las derivadas de las funciones que le dio su jefe, por lo que ahora puede encontrar la pendiente de cada una de esas funciones en cualquier valor dado de x . ¡Gran trabajo! ¡Deberías pedir un aumento!

Resumen de la lección

Cuando se trata de encontrar la derivada de una suma, diferencia, producto o cociente, tenemos diferentes reglas para cada caso. Estas reglas son las siguientes.

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Cuando queremos usar una de estas fórmulas, simplemente calculamos las diferentes partes de la fórmula y luego la conectamos y simplificamos. Podemos ver que estas fórmulas facilitan bastante la búsqueda de estas derivadas, por lo que es una buena idea intentar guardarlas en la memoria para uso futuro.

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