Pasos para resolver el problema
El problema de encontrar la integral de csc x involucra funciones de integración y trigonométricas. La integración es el proceso de encontrar la integral de algo y las funciones trigonométricas son funciones de ángulos. Ambas cosas son muy útiles en ingeniería, construcción, astronomía, medicina y química, así como en muchas otras áreas. Nuestro problema en particular es pedirnos que encontremos la integral de csc x . Hay tres pasos principales para encontrar esta integral.
El primer paso definitivamente no es obvio. Queremos comenzar multiplicando y dividiendo csc x por csc x + cot x . A medida que avanzamos con este problema, quedará claro por qué queremos hacer esto.
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Está bien hacer esto porque multiplicar y dividir por la misma expresión es lo mismo que multiplicar por 1. Por lo tanto, no cambia el valor de csc x .
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El siguiente paso es simplificar un poco. Multiplicamos csc x por el numerador. También vamos a factorizar un negativo del numerador y ponerlo fuera de la integral. Nuevamente, veremos por qué hacemos esto en el Paso 3.
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Ahora que hemos hecho esto, tenemos la integral de – (- csc 2 x – csc x cot x ) / (csc x + cot x ).
El tercer paso es el paso en el que queda claro por qué hemos realizado los pasos 1 y 2. Vamos a utilizar la sustitución para encontrar la integral. La sustitución es básicamente la regla de la cadena para derivados a la inversa.
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Observe que el denominador es csc x + cot x (del Paso 2), y la derivada de esto es -csc x cot x – csc 2 x dx , que es igual a – csc 2 x – csc x cot x dx . Vemos que este es nuestro numerador. Por lo tanto, vamos a hacer la sustitución u = csc x + cot x , entonces la derivada de u es du = -csc 2 x – csc x cot x dx . Ahora podemos conectarlos a nuestra integral del paso 2.
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Vemos que ahora tenemos la integral de -1 / u du . Ésta es una integral conocida y es igual a -ln | u | + C , donde C es una constante.
Nuestro último paso es volver a poner nuestro valor para u (csc x + cot x ) en nuestra respuesta. Esto da -ln | csc x + cot x | + C , donde C es una constante.
Solución
Hemos encontrado que la integral de csc x es -ln | csc x + cot x | + C .
Comprobando nuestro trabajo
Como dijimos, la integración es el hallazgo de la integral (o anti-derivada) de algo. La integración básicamente deshace la búsqueda de la derivada de una expresión. Es decir, si a es la integral de b , entonces la derivada de a es b . Podemos usar este hecho para verificar nuestra respuesta. Encontramos que -ln | csc x + cot x | + C es la integral de csc x . Basado en nuestro hecho, debería darse el caso de que la derivada de -ln | csc x + cot x | + C es csc x .
Vemos que para comprobar nuestra respuesta, solo tenemos que encontrar la derivada de -ln | csc x + cot x | + C . Para empezar, podemos eliminar la C , porque cuando tomamos la derivada de una constante, obtenemos cero, por lo que disminuirá. Para encontrar la derivada de -ln | csc x + cot x |, usamos la siguiente información:
Primero usamos la regla de la cadena, donde f ( x ) = -ln | x |, y g ( x ) = csc x + cot x .
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Luego, observe que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada una de esas funciones. Es decir, ( f ( x ) + g ( x )) = f ( x ) + g ( x ).
La derivada de ln | x | = 1 / x . La derivada de csc x es -csc x cot x . La derivada de cot x es -csc 2 x .
Conectando nuestra f ( x ) yg ( x ) en la regla de la cadena, obtenemos que la derivada de -ln | csc x + cot x | es (-1 / csc x + cot x ) * (-csc x cot x – csc 2 x ).
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Vemos que la derivada de -ln | csc x + cot x | + C es csc x , y esto nos dice que nuestra respuesta es correcta. Por tanto, la integral de csc x es -ln | csc x + cot x | + C .
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