Expresiones polinomiales
En álgebra, ser capaz de factorizar expresiones polinómicas , expresiones hechas de términos que son el producto de variables y un número, es una habilidad esencial. Es como nosotros. Para crecer, necesitamos aprender a caminar. En álgebra, para crecer en nuestras habilidades, necesitamos saber cómo factorizar. Factorizar consiste en dividir nuestro polinomio en sus partes. Así como estamos compuestos por partes de nuestro cuerpo, como brazos y piernas, nuestros polinomios están compuestos por sus factores.
Además, al igual que hay diferentes ejercicios que podemos hacer para estirar cada músculo, también tenemos diferentes métodos de factorización dependiendo del tipo de polinomio que estemos viendo. Los ejemplos de polinomios incluyen 2 x + 4, x ^ 2 + 3 x + 2 y x ^ 5 + 2 x ^ 2.
Factorizar cuadráticas
El primer método que veremos es el método cuadrático para factorizar polinomios que son cuadráticos y cuyo primer coeficiente es 1. Estos son los polinomios cuyo grado más alto, o exponente, es un 2. Entonces, un polinomio, como x ^ 2 + 3 x + 2, es un ejemplo de una cuadrática cuyo primer coeficiente es 1.
Observe el exponente más alto de 2 que tenemos y el coeficiente de 1 para el término x ^ 2. Los polinomios cuadráticos están formados por dos factores y, al usar este método cuadrático, podemos encontrarlos si están allí. No todos los polinomios cuadráticos se factorizan bien en sus dos partes. Si lo hacen, entonces este método encontrará lo que son.
Para utilizar este método, primero identifica tus tres números, tus tres coeficientes. Debido cuadráticas tienen una forma algebraica general de hacha ^ 2 + bx + c , estamos buscando los valores de una , b , y c . Nuestro primer valor, a , es 1 y buscamos dos números que se multiplican al valor c y se suman al valor b . En nuestro ejemplo, nuestra a es 1, nuestra b es 3 y nuestra c es 2. Entonces, preguntamos qué dos números se multiplican para hacer 2 y suman para obtener 3. ¿No es 1 y 2? ¡1 por 2 es 2 y 1 más 2 es 3! Entonces x ^ 2 + 3x + 2 se factoriza en ( x + 2) ( x + 1).
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¿Ves cómo hemos escrito nuestros números 1 y 2? Así es como factorizas un polinomio cuadrático donde el primer número de coeficiente, a , es 1. Ahora recuerda, tu polinomio cuadrático no necesariamente necesita los tres términos. Podría tener solo dos términos y es posible que aún pueda utilizar este método. Si no puede encontrar dos números que se ajusten, es posible que deba utilizar otro método.
Método del máximo factor común
El segundo método que veremos es el método del factor común máximo. Esto funciona para cualquier tipo de polinomio si todos los términos del polinomio tienen un factor común. Por ejemplo, podemos usar este método para el polinomio x ^ 5 + x ^ 3 porque todos los términos de este polinomio tienen el factor común de x ^ 3. Puedo dividir cada término por x ^ 3. Si hago eso, x ^ 5 + x ^ 3 se factoriza en x ^ 3 ( x ^ 2 + 1). Observe cómo escribí lo que dividí cada término en el exterior del paréntesis, y escribí lo que obtengo después de dividir cada término dentro del paréntesis. Así es como se factoriza con este método.
Método de agrupación
Un tercer método que puede utilizar es el método de agrupación si su polinomio tiene cuatro términos. Podemos usar este método para factorizar un polinomio, como x ^ 3 + 2 x ^ 2 + 2 x + 4. Para usar este método, agrupamos nuestros cuatro términos en grupos de dos así; ( x ^ 3 + 2 x ^ 2) + (2 x + 4). Luego usamos el método del máximo factor común para factorizar cada conjunto de paréntesis.
El máximo factor común en el primer conjunto de paréntesis es x ^ 2, y el máximo factor común en el segundo es 2. Reescribimos nuestro polinomio como x ^ 2 ( x + 2) + 2 ( x + 2). Observe cómo ahora tenemos dos términos compuestos, x ^ 2 ( x + 2) y 2 ( x + 2), donde cada uno tiene un factor común de ( x + 2). Ahora podemos repetir el método del máximo común divisor y factorizar ( x + 2). Obtenemos ( x + 2) ( x ^ 2 + 2). Y hemos terminado.
Si vemos un polinomio en una de las formas anteriores y no podemos usar el método particular mencionado anteriormente, eso significa que el polinomio no se puede factorizar. Si comparamos la factorización de un polinomio con el estiramiento de un músculo, eso significa que no hay ejercicios para fortalecer ese polinomio en particular. Los músculos de ese polinomio están demasiado tensos para estirarlos.
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Resumen de la lección
¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que las expresiones polinomiales son expresiones formadas por términos que son el producto de variables y un número. Al igual que existen diferentes ejercicios para estirar diferentes partes del cuerpo, también existen diferentes métodos de factorización para diferentes tipos de polinomios.
Aquí hay un resumen de los diferentes métodos que aprendimos en esta lección en video:
| Método | Ejemplo de polinomio | Descripción |
|---|---|---|
| Cuadrático | x ^ 2 + 3 x + 2 | Buscas dos números que se multipliquen para darte el último número y sumar al número del medio. Este polinomio se factoriza en ( x + 1) ( x + 2). |
| Método del máximo factor común | x ^ 5 + x ^ 3 | Busque un factor común por el que pueda dividir cada término. Este polinomio se factoriza en x ^ 3 ( x ^ 2 + 1). |
| Método de agrupación | x ^ 3 + 2 x ^ 2 + 2 x + 4 | Agrupa en pares de dos términos y luego usa el método del mayor factor común para cada agrupación, y luego repite el método del mayor factor común para los dos términos compuestos restantes. |
Resultado de aprendizaje
Después de ver esta lección, debería poder aplicar el máximo factor común, los métodos de agrupación y cuadráticos para factorizar polinomios.
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