Series y Power Series
En el pasado, probablemente haya trabajado con polinomios o funciones que se ven así:
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Imagínese que en lugar de haber una potencia más alta en x (como 5 en esta función), no hubiera una potencia más grande. Por ejemplo, considere la siguiente función:
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El … al final nos dice que este polinomio continúa eternamente, continuando en el mismo patrón. Estas funciones polinomiales infinitas se denominan series de potencias .
Notación
Para evitar usar la notación …, que a veces deja menos claro cuáles son los coeficientes de cada potencia de x , generalmente representamos estos polinomios infinitos usando notación de suma:
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La Σ al principio nos dice que vamos a sumar términos de acuerdo con algún patrón descrito a la derecha de la Σ. El n = 0 debajo de Σ nos dice que comenzaremos poniendo 0 en lugar de n en la fórmula a la derecha de Σ. Si hay un número finito encima de Σ, dejamos de sumar términos cuando llegamos a ese número. Como tenemos infinito encima de Σ, sabemos que la función suma un número infinito de términos y, por lo tanto, es una serie de potencias.
Todas estas ecuaciones son algunos ejemplos más concretos del uso de esta notación:
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Centro de una serie de potencia
Ocasionalmente nos encontramos con series de potencia de la siguiente forma:
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Aquí hay unos ejemplos:
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Tome un momento y ver si puede averiguar lo que una se encuentra en cada una de las series de potencias. ¿Lo has descubierto? En el primero, es 2, el segundo, 1 y el tercero, -3 (ya que – (- 3) = 3). En tal serie de potencias, a a veces se le llama el centro de la serie de potencias. A veces, las series de potencias con centros distintos de cero se denominan series de potencias sobre a .
Convergencia
En este punto, es posible que se haya estado preguntando: ‘Si estamos sumando un número infinito de términos, ¿cómo sabemos que la suma no es infinita?’ Los matemáticos han encontrado algunas formas de verificar eso, pero primero debemos discutir la terminología. Si una suma infinita se suma a un número finito, decimos que converge . Cuando se trata de series de potencias, dado que las series de potencias son funciones (es decir, hay una variable, x , en la que podemos conectar números para obtener una salida), queremos saber todos los números que podemos poner en x que nos dan una suma convergente.
Resulta que los números para los cuales converge una serie de potencias siempre forman un intervalo, que (como era de esperar) llamamos intervalo de convergencia . También resulta que los puntos finales de este intervalo siempre tendrán a , el centro de la serie de potencias, como su punto medio. Por lo tanto, llamamos el valor absoluto de la diferencia entre una y, o bien punto final del intervalo de convergencia el radio de convergencia .
En esta lección, solo hablaremos sobre cómo encontrar el radio de convergencia, ya que hay algunos matices en la búsqueda del intervalo completo de convergencia que están más allá del alcance de esta lección. Sin embargo, también usaremos el radio de convergencia para encontrar un intervalo abierto contenido en el intervalo de convergencia.
La principal herramienta que utilizan los matemáticos para determinar el radio de convergencia es la prueba de razón . Si tenemos una serie de potencias
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entonces la prueba de razón dice que el radio de convergencia, r , se puede encontrar evaluando el límite:
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Usando el radio r , podemos determinar que el intervalo abierto ( a – r, a + r ) está contenido en el intervalo de convergencia.
He aquí un ejemplo. Suponga que h (x) es una función tal que
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En esta función,
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Así,
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Como puede ver, una vez que simplificamos todo, obtenemos la respuesta de r = 5. Por lo tanto, decimos que h (x) tiene un radio de convergencia de 5. Por lo tanto, su intervalo de convergencia contiene el intervalo abierto (-1 , 9).
Ocasionalmente, la prueba de razón nos dice que el radio de convergencia es 0. En casos como este, el intervalo de convergencia es solo el centro, ya que si ponemos el centro de la serie en x , todos menos el primer término van a 0 , lo que significa que la serie converge (ya que está sumando un solo número más un montón de ceros). Por ejemplo, considere la siguiente serie de:
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Cuando hacemos la prueba de razón, obtenemos lo siguiente:
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Por tanto, el intervalo de convergencia para esta serie es 6, el conjunto {6}.
Por otro lado, si el radio de convergencia es infinito, decimos que el intervalo de convergencia es la línea real completa, o (-∞, ∞). Un ejemplo de una serie de potencias de este tipo es el siguiente:
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Cuando hacemos la prueba de razón, terminamos tomando el límite cuando n llega al infinito de n , que es ∞. Por lo tanto, el radio de convergencia de esta serie de potencias es ∞, y tenía un intervalo de convergencia de (-∞, ∞)
Resumen de la lección
Dediquemos unos minutos a revisar lo que hemos aprendido sobre las funciones definidas por series de potencia. En esta lección, aprendimos que una serie de potencias es esencialmente un polinomio infinito. Tiene un centro , a , y converge , lo que significa que una suma infinita se suma a un número finito. Converge en su intervalo de convergencia , que es cuando el número para el que converge una serie de potencias forma siempre una interna.
El intervalo de convergencia contiene el intervalo abierto ( a – r, a + r ), donde r es el radio de convergencia , o el valor absoluto de la diferencia entre una y, o bien punto final del intervalo de convergencia. La principal herramienta que utilizan los matemáticos para determinar el radio de convergencia es la prueba de razón , que nos ayudará a comprobar nuestro trabajo.
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