Funciones y signos de sus derivadas

Una función

Al trabajar con funciones, una de las muchas tareas que se le pide que realice es averiguar si una determinada función está disminuyendo o aumentando dentro de ciertos intervalos. Hay varias formas de resolver esto. Uno, puede insertar diferentes valores en todo el intervalo para ver qué hace la función. Dos, puede graficar la función y ver visualmente lo que hace la función durante el intervalo. O tres, puede tomar la derivada de la función y observar el signo de la derivada de la función para encontrar el comportamiento de la función. En esta lección, es la tercera forma que aprenderá.

Veamos esta función.

Su derivada

Pero primero, una definición. La derivada de una función es la pendiente de una función o su tasa de cambio en cualquier punto dado. Una línea recta tiene una derivada constante. Pero las funciones no lineales como las funciones cuadráticas y racionales tienen curvas con pendientes cambiantes. Tomar la derivada de tu función te dará la función para su pendiente. Luego, puede insertar cualquier valor en esta derivada y encontrará la pendiente en ese punto.

Por ejemplo, la derivada de su función es esta. Hallaste la derivada siguiendo todas las reglas que ya aprendiste para encontrar derivadas.

Para encontrar la pendiente cuando el valor x de la función es igual a 2, sustituye 2 por x en la función derivada. Luego lo evalúas. Esto es lo que encuentras.

Esto te dice que cuando la función está en el punto donde x = 2 , la pendiente es 1/5.

El signo de la derivada

Ahora, observe el signo de la pendiente en ese punto. Es positivo. Esto le dice que su función en ese punto está aumentando. 1/5 no es una pendiente muy grande, por lo que su función no aumentará muy rápido en ese punto. Puedes ver esto si grafica la función. En el punto x = 2, puede ver que su función está empezando a aumentar. No está subiendo muy rápido, pero está aumentando.

Una pendiente negativa, o una derivada negativa, por otro lado, significa que la función está disminuyendo. Si ingresó 0 para x , encontrará que su derivada es negativa, lo que indica que su función está disminuyendo en ese punto. Su gráfico atestigua eso, como puede ver.

Ejemplo

Probemos un problema.

¿Cuál es el dominio en el que está aumentando esta función?

Primero, necesitará tomar la derivada antes incluso de intentar responder la pregunta.

Después de tomar la derivada, ahora puede intentar averiguar el dominio en el que su función está aumentando. Recuerda que una derivada positiva significa que la función está aumentando, mientras que una derivada negativa significa que la función está disminuyendo. Al observar su derivación, verá que simplemente es igual a 9, un número positivo. Este número no depende de ningún valor de x , por lo que le indica que su función tiene una pendiente constante en todo momento. Dado que la derivada es un número positivo en todo momento, su función aumenta en todo su dominio desde el infinito negativo al infinito positivo.

Resumen de la lección

Revisemos.

La derivada de una función es la pendiente de una función o su tasa de cambio en cualquier punto dado. Para encontrar la derivada de una función, seguirá las reglas para encontrar derivadas.

Una vez que haya encontrado la derivada, puede saber rápidamente si su función aumenta o disminuye en un punto dado. Si su derivada es negativa, entonces su función está disminuyendo. Si su derivada es positiva, entonces su función aumenta.