Gráficos de derivadas no diferenciables

La línea normal

La línea normal está en un ángulo de 90 grados con respecto a la línea original.

En general, cuando camino a lo largo de una curva, mis pies se mueven en la línea que es tangente a la curva y mi cabeza está pegada hacia arriba, alejándose de la curva. Si trazo una línea desde mi cabeza hasta mis pies, esa línea es perpendicular a la tangente en ese punto de la curva. La línea de mi cuerpo, desde la cabeza hasta los pies, se llama línea normal . Si tiene alguna línea original, su tangente en este caso, entonces la línea normal a ella está en un ángulo de 90 grados con respecto a la línea original. Es perpendicular a la línea original.

Cada vez que tienes una línea que es perpendicular a otra línea, las pendientes se relacionan mediante una fórmula bastante ingeniosa. Si tiene su línea original con una pendiente de m , entonces la pendiente de la línea normal será -1 / m . Este es el recíproco negativo.

Ecuación de una recta normal

¿Cómo podemos encontrar la ecuación de la línea de mi cuerpo en cualquier momento cuando camino por una curva? Vamos a seguir una fórmula de cinco pasos para encontrar normales.

El gráfico correspondiente al ejemplo # 1

Primero, vamos a encontrar el punto de la curva donde están mis pies. Entonces, dado un valor de x , voy a conectar x a una función para obtener y . Ahora tengo el punto en la curva donde están mis pies. A continuación, necesito averiguar dónde está la tangente. ¿Por qué tangente estoy caminando? Primero voy a calcular la derivada de mi función, así que voy a encontrar y“. Una vez que haya calculado la derivada, encontraré la pendiente de la tangente en el punto donde están mis pies. Así que esto les dirá en qué dirección estoy caminando. Una vez que haya encontrado la pendiente de la tangente, usaré el recíproco negativo para encontrar la pendiente de la normal. Esta es la dirección en la que se compara mi cabeza con mis pies. Una vez que tenga la pendiente de la normal, usaré la forma punto-pendiente para encontrar una ecuación para mi cabeza y mis pies. Esta será y = y sub 1 + la pendiente de la normal, n ( x – x sub 1), donde x sub 1 y y sub 1 son las posiciones de mis pies.

Primer ejemplo

Hagamos un ejemplo. Digamos que estoy caminando (más bien al revés, podría agregar) en la curva y = x ^ 2. En particular, estoy caminando y acabo de llegar ax = 1, por lo que el primer paso es averiguar exactamente dónde estoy. En x = 1, y = x ^ 2, entonces y = 1. Mis pies van a estar en el punto (1,1). Entonces voy a encontrar la derivada de mi y = x ^ 2. Este es mi segundo paso para encontrar la normal: y `es igual a d / dx ( x ^ 2). Voy a usar la regla del poder aquí. Encuentro que y `= 2 x. Ahora necesito encontrar la pendiente de la tangente en el punto 1,1. Para hacer esto, voy a insertar mi punto ( x = 1, y = 1) en la derivada. Cuando x = 1, Y `= 2 x , de modo y ` = 2 * 1. La pendiente de la tangente en el punto (1,1) es igual a 2. ¿Qué hay de la pendiente de la normal? Eso será -1 dividido por la pendiente de la tangente: -1/2. Ahora tengo la pendiente de la normal y tengo un punto para la normal, así que voy a usar la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta normal: y = y sub 1 + n ( x – x sub 1), entonces y = 1 – 1/2 (x – 1) porque mi punto es (1,1) y la pendiente es -1/2. Esa es la ecuación de esta línea que es perpendicular a la función en el punto (1,1). Mi cabeza está hacia abajo. Excelente.

Encontrar la ecuación para la normal en el punto x = 1 en el ejemplo # 2

Segundo ejemplo: normales y torceduras

Hagamos otro ejemplo. Digamos que tenemos la función f (x) = (5/6) x para valores de x menores que 6 y f (x) = -2 x + 17 para valores de x mayores que 6. Grafiquemos esto, y me pongo amable de una función puntiaguda aquí. Digamos que estoy caminando por él, y quiero encontrar la ecuación para lo normal, entonces donde está mi cabeza, básicamente, en tres puntos diferentes: x = 1, x = 6 y x = 9. En el punto x = 1, necesito encontrar dónde está y ; entonces y = (5/6) x , entonces y = 5/6 . Mi punto es x = 1,y = 5/6. Ahora necesito tomar la derivada de f (x) . Eso es 5/6. Eso es constante a lo largo de esta función aquí, por lo que la pendiente de mi tangente en el punto (1,5 / 6) será 5/6 porque es constante aquí. ¿Cuál es la pendiente de la normal? Es -1 dividido por la pendiente de la tangente, que es -1 dividido por 5/6 o -6/5. Tengo mi pendiente para lo normal. Tengo mi punto. Vamos a conectarlo todo en forma de punto pendiente. Obtengo y = 5/6 + (-6/5) ( x – 1), y puedes simplificar esto, y encontrarás que mi cabeza cuelga del lado izquierdo mientras camino por este Pendiente.

¿Qué pasa cuando x = 9? Cuando x = 9, voy a utilizar la segunda ecuación aquí: -2 x +17. ¿Qué es y cuando x = 9? Lo conecto: -2 * 9 + 17 me da -18 + 17, entonces y = -1. El punto en el que están mis pies es (9, -1). ¿Cuál es la derivada de f (x) ? Como estoy interesado en x = 9, tomaré la derivada de -2 x + 17. La derivada de -2 x + 17 es simplemente -2. Nuevamente, esa será la pendiente de la tangente en x= 9. Esta tangente tiene una pendiente constante en todas partes. A continuación, encuentro la pendiente de la normal, que es -1 dividido por la pendiente de la tangente. Eso es solo 1/2. Tengo mi pendiente de 1/2, mi punto (9, -1). Voy a conectar eso en forma de punto-pendiente, y obtengo y = -1 + (1/2) ( x – 9). Ahora mi cabeza está mirando hacia el otro lado mientras camino por este lado de esta montaña aquí.

Hay una torcedura en el punto x = 6, por lo que no existe derivada o normal

¿Qué pasa en el punto x = 6? x = 6 es una especie de cima de esta montaña, pero no tiene derivada. ¿Porque la derivada es conmigo subiendo la colina o conmigo bajando la colina? La derivada no es continua aquí. Esto es lo que llamamos torcedura . Aquí no hay normalidad, porque no hay derivada. En este punto, realmente no estoy caminando. ¡Maricón! No apareceré hasta después de las 6.

Resumen de la lección

Revisemos. Una recta normal es perpendicular a la recta tangente. La pendiente de una recta normal es -1 dividida por la pendiente de la recta tangente. Finalmente, algunas funciones tienen problemas . Aquí es donde la función en sí puede ser continua pero no hay derivada. No hay derivada, por lo que no es normal.