Hallar la derivada de 1 / cos (x)

Pasos para resolver

Queremos encontrar la derivada de 1 / cos ( x ). Observe que 1 / cos ( x ) es un cociente. Esto nos dice que podemos usar la regla del cociente para derivadas para encontrar esta derivada. La regla del cociente se muestra en pantalla:

Para encontrar la derivada de un cociente, seguimos estos pasos.

1.) Identifique la función en el numerador, f ( x ), y encuentre su derivada, f ‘( x ).

2.) Identifica la función en el denominador, g ( x ), y encuentra su derivada, g ‘( x ).

3.) Inserte estas funciones en la regla del cociente y simplifique.

Antes de llevar a cabo nuestra función a través de estos pasos, necesitaremos conocer algunos hechos clave para llevarnos a través del proceso de resolución. Es posible que ya esté familiarizado con estos hechos, pero si no, aquí hay un repaso rápido.

• 1 / cos ( x ) = seg ( x )
• sin ( x ) / cos ( x ) = tan ( x )
• La derivada de una constante es cero.
• La derivada de cos ( x ) es -sin ( x ).

Resolviendo

Bien, comencemos.

Paso 1: Lo primero que queremos hacer es identificar la función en el numerador de 1 / cos ( x ). Vemos que esto es 1, entonces decimos f ( x ) = 1. Ahora queremos encontrar la derivada de esta función. Dado que 1 es una constante, sabemos que la derivada es 0 de nuestra lista de hechos. Por lo tanto, f ‘( x ) = 0.

Paso 2: Nuestro siguiente paso es identificar la función en el denominador de 1 / cos ( x ). La función en el denominador es cos ( x ), entonces dejamos g ( x ) = cos ( x ). Ahora encontramos la derivada de cos ( x ), que nuestra lista de hechos dice que es -sin ( x ). Entonces, g ‘( x ) = -sin ( x ).

Paso 3: Nuestro último paso es reemplazar f, g, f ‘y g’ que encontramos en los pasos 1 y 2 en la regla del cociente.

Por último, simplificamos. Para hacer esto, usaremos nuestros dos hechos de que 1 / cos ( x ) = sec ( x )

y que sin ( x ) / cos ( x ) = tan ( x ).

Vemos que la derivada de 1 / cos ( x ) es sec ( x ) tan ( x )

Funciones trigonométricas

Como acabamos de ver, estar familiarizado con las identidades trigonométricas y las derivadas de funciones trigonométricas es esencial cuando se trata de encontrar derivadas más complejas que involucren funciones trigonométricas. Otra razón para estar familiarizado con estos dos conceptos es porque realmente puede reducir la cantidad de trabajo necesario para encontrar una derivada. En nuestro ejemplo, podemos encontrar la derivada de 1 / cos ( x ) en dos sencillos pasos si conocemos algunas identidades simples y derivadas de funciones trigonométricas.

Veamos cómo es posible, pero primero, repasemos las derivadas de las funciones trigonométricas y algunas identidades trigonométricas. Las derivadas de funciones trigonométricas se muestran en pantalla:

Ahora, veamos las identidades trigonométricas recíprocas.

Observe, las identidades trigonométricas recíprocas dan que sec ( x ) = 1 / cos ( x ), y las derivadas de funciones trigonométricas dan que la derivada de sec ( x ) es sec ( x ) tan ( x ). Todos juntos, tenemos lo siguiente.

¡Esta forma de encontrar la derivada es mucho más simple que usar la regla del cociente! Vemos que es extremadamente útil estar familiarizado con diferentes identidades trigonométricas y las derivadas de funciones trigonométricas. Nos puede ahorrar mucho tiempo.

Como otro ejemplo rápido, suponga que necesita encontrar la derivada de sin ( x ) / cos ( x ). Podrías encontrar las derivadas del numerador y denominador y luego usar la regla del cociente, o podrías reconocer que sin ( x ) / cos ( x ) = tan ( x ), y la derivada de tan ( x ) es sec 2 ( x ). ¡Hay mucho menos trabajo involucrado en este último proceso!

Resumen de la lección

Para encontrar la derivada de 1 / cos ( x ), podemos usar la regla del cociente para las derivadas para encontrar esta derivada. Para ello, seguimos estos pasos:

1.) Identifique la función en el numerador, f ( x ), y encuentre su derivada, f ‘( x ).

2.) Identifica la función en el denominador, g ( x ), y encuentra su derivada, g ‘( x ).

3.) Inserte estas funciones en la regla del cociente y simplifique.

También puede usar las identidades y derivadas de funciones trigonométricas para encontrar la derivada de 1 / cos ( x ). Sin embargo, las identidades recíprocas son solo la punta del iceberg cuando se trata de identidades trigonométricas. Hay muchos más, y recordarlos todos sería una tarea ardua. Por lo tanto, es bueno saber que siempre podemos encontrar derivadas usando varios métodos y es bueno estar familiarizado con todos esos métodos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador