Las identidades de ángulos negativos en trigonometría

Identidades trigonométricas

Imagínate esto. Tiene una carrera exitosa como constructor, y usted y un compañero de trabajo están trabajando juntos para determinar el ángulo en el que deben colocar dos vigas para crear para asegurar un techo. Necesita un ángulo, x , tal que cos ( x ) = √3 / 2.

Creando un ángulo

Mientras trabaja en el problema y considera diferentes ángulos, comienza a trabajar con el ángulo que mide 30 grados. Calcula cos (30) para obtener lo siguiente.

¡Excelente! Crees que has encontrado tu ángulo, pero luego tu compañero de trabajo dice que han encontrado el ángulo y es de -30 grados. Verá, mientras trabajaba con el ángulo de 30 grados, su compañero de trabajo estaba trabajando con el ángulo con una medida de -30 grados. Calcularon cos (-30) para obtener lo siguiente.

¡¿Espera un minuto?! ¿Cómo es esto posible? Estabas calculando el coseno de dos ángulos diferentes con diferentes medidas, entonces, ¿cómo obtuvieron ambos el mismo resultado?

La respuesta a esto radica en las identidades trigonométricas. Las identidades trigonométricas son relaciones entre diferentes funciones trigonométricas. En esta lección, estamos interesados ​​en algunas identidades trigonométricas específicas llamadas identidades de ángulos negativos.

Identidades de ángulos negativos

Las identidades de ángulos negativos son identidades trigonométricas que muestran las relaciones entre funciones trigonométricas cuando tomamos la función trigonométrica de un ángulo negativo. Estas identidades son las siguientes.

• sin (- x ) = -sin ( x )
• cos (- x ) = cos ( x )
• tan (- x ) = -tan ( x )
• csc (- x ) = -csc ( x )
• seg (- x ) = seg ( x )
• cuna (- x ) = -cot ( x )

La buena noticia es que estas identidades de ángulos negativos son bastante fáciles de recordar. Puede ver que la función coseno y la función secante son las únicas en la lista que no cambian de signo. Para todas las demás funciones trigonométricas de la lista, un ángulo negativo cambiará el signo de la función. Bastante sencillo, ¿verdad?

Bien, ahora que conocemos estas identidades, podemos ver qué pasó contigo y tu compañero de trabajo. Observe la identidad del ángulo negativo que involucra la función coseno. Tenemos que cos (- x ) = cos ( x ). Esto nos dice que cos (-30) = cos (30). ¡Ah-ja! No es de extrañar que usted y su compañero de trabajo obtuvieran el mismo resultado. Deberá decidir qué ángulo utilizar al conectar sus vigas utilizando algún otro tipo de criterio.

Vemos que el uso de identidades de ángulos negativos puede ocurrir en el mundo que nos rodea. Veamos algunos ejemplos más para ayudarnos a familiarizarnos con estas identidades.

Ejemplos

Ejemplo 1

Consideremos otro escenario. Esta vez, suponga que está haciendo un álbum de recortes y desea que una foto quepa en una página de cierta manera. Vas a crear un ángulo, x , con la foto y un poco de cartulina, tal que sec ( x ) = 2. Hallas que cuando trabajas con el ángulo que mide 60 grados, tienes lo siguiente.

Prueba este ángulo y no se ve muy bien, por lo que quiere saber si hay otro ángulo que satisfaga sus criterios. ¡Introduzca identidades de ángulos negativos! Por las identidades de ángulos negativos, tenemos que sec (- x ) = sec ( x ). Por lo tanto, debe darse el caso de que sec (-60) = sec (60) = 2. Respira un suspiro de alivio e intenta usar el ángulo con medida -60 grados. ¡Se ve perfecto!

Ejemplo 2

Consideremos un ejemplo más. Digamos que está sentado en una clase de trigonometría y el instructor le dice el valor del pecado (45).

Basado en esto, su instructor quiere que encuentre el valor del pecado (-45). ¡Tengo buenas noticias! Podemos usar nuestras identidades de ángulos negativos para encontrar esto. La identidad del ángulo negativo que involucra la función seno da que sin (- x ) = -sin ( x ). Se nos da que sin (45) = √2 / 2. Por lo tanto, -sin (45) = -√2 / 2.

Por último, por la identidad del ángulo negativo, tenemos que dado que -sin (45) = -√2 / 2 y sin (- x ) = -sin ( x ), debe darse el caso de que sin (-45) = -sin (45) = -√2 / 2.

Resumen de la lección

Las identidades trigonométricas dan relaciones entre diferentes variaciones de funciones trigonométricas. Las identidades de ángulos negativos dan la relación entre funciones trigonométricas cuando tomamos la función trigonométrica de un ángulo negativo. Estas identidades de ángulos negativos son las siguientes.

• sin (- x ) = -sin ( x )
• cos (- x ) = cos ( x )
• tan (- x ) = -tan ( x )
• csc (- x ) = -csc ( x )
• seg (- x ) = seg ( x )
• cuna (- x ) = -cot ( x )

Podemos usar estas identidades en muchas áreas diferentes, como trigonometría, construcción, edificación, astronomía y física. A medida que avance en sus estudios de trigonometría, encontrará que estas identidades son invaluables. Estos son definitivamente algo que valdría la pena recordar.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador