Minería de datos: propiedades de función a partir de derivadas

Revisión de derivados

Repasemos algunas de las cosas que sabemos sobre los derivados. La derivada es la pendiente de la función. Si la derivada es positiva, la pendiente aumenta. Si es negativo, la pendiente está disminuyendo. Si la derivada es cero, la función no cambia, por lo que podría ser un mínimo o un máximo. La segunda derivada es la pendiente de la derivada. Si la segunda derivada es positiva, la función es cóncava hacia arriba ; tenemos una ‘taza’. Si la segunda derivada es negativa, tenemos algo cóncavo hacia abajo , un ‘ceño fruncido’. Si la segunda derivada es cero, la función podría estar en un punto de inflexión si cambiamos de taza a ceño fruncido. Entonces, ¿qué significa esto?

Encontrar la posición usando la velocidad

La pendiente es constante porque la velocidad es constante

¿Recuerdas ese sueño que tuve donde mi padre puso un GPS en mi auto? Digamos que en lugar de usar alta tecnología y poner un GPS allí, puso un acelerómetro en mi auto. Así que no puede decir dónde estoy, pero puede saber qué tan rápido voy. Y digamos que puede graficar mi velocidad por la velocidad, al salir de casa, en función del tiempo. La primera vez que hace esto, el gráfico se parece a esto. Mi velocidad comienza con algún valor positivo y es constante durante algún tiempo. Entonces, mi velocidad salta y es cero durante un período de tiempo. Y luego mi velocidad vuelve a saltar y es negativa durante un período de tiempo. ¿Puede reconstruir, aproximadamente, dónde estoy en un momento dado? ¿Puede graficar mi posición a partir de esta velocidad?

Digamos que intenta trazar mi posición en función del tiempo sabiendo que empiezo en casa, en el origen aquí, en el tiempo = 0. Durante los primeros 20 minutos, voy a una velocidad constante y positiva. Entonces sé que podría trazar mi posición en función del tiempo simplemente dibujando algo con una pendiente positiva constante. Aquí, puedes imaginar que salgo de casa a una agradable velocidad de 35 millas por hora. Como mi pendiente es constante, mi velocidad será constante. Ahora, 20 minutos después, mi velocidad pasa de constante, 35 millas por hora, a cero, y durante los siguientes 20 minutos mi velocidad es cero. Eso significa que mi posición no cambia. Obviamente no me voy a ninguna parte; mi velocidad es cero. Digamos que estoy escalando rocas durante este período de 20 minutos. Después de que eso termine, mi velocidad se vuelve negativa. Así que en unos 40 minutos, decido que Me voy a casa y empiezo a conducir con una pendiente constante de regreso a casa. Es constante porque mi velocidad es constante. No está mal.

Entendiendo la Velocidad

Digamos que vuelve a hacer esto al día siguiente. Ahora tengo mi velocidad alejándose de casa como una función del tiempo, y parece que nada es constante en este gráfico. Señalemos los puntos interesantes. Voy a marcar esto donde mi velocidad es cero, y en todas partes mi velocidad es positiva. Cuando la velocidad es cero, sé que me detuve; si mi velocidad no cambia, obviamente no estoy conduciendo. Cuando mi velocidad es positiva, me voy de casa, porque voy hacia adelante.

Entonces, ¿qué podemos deducir de este gráfico? Al principio, mi velocidad no es tan grande. Esta gráfica tiene mi velocidad algo cercana a cero; no es cero, es positivo, pero no es un número grande. Quizás solo estoy perdiendo el tiempo. A medida que avanzo en el gráfico, mi velocidad aumenta cada vez más, por lo que no solo me estoy alejando de casa, sino que me estoy alejando de casa cada vez más rápido. En este punto, mi velocidad es constante, por lo que todavía estoy conduciendo lejos de casa, pero conduzco lejos de casa a una velocidad constante. Digamos que estoy en la autopista. Entonces mi velocidad comienza a descender hacia cero, así que empiezo a reducir la velocidad. Todavía me estoy mudando de casa, pero estoy disminuyendo la velocidad. Entonces me detengo. Quizás estoy en el centro comercial, recuperando a mi padre por todas esas veces que me ha seguido.

Bien, una vez que termino en el centro comercial, vuelvo al auto y empiezo a conducir. Nuevamente, mi velocidad comienza pequeña, cercana a cero. Todavía me estoy alejando de casa, pero lentamente. Entonces me vuelvo más y más rápido, y más rápido, muy rápido ahora. Entonces mi velocidad es realmente alta. Ahora, a medida que avanzo en el tiempo, mi velocidad no cambia en función del tiempo; se ha aplanado. Aquí, voy por la autopista; Solo estoy acelerando esta vez. Y salgo de la autopista y mi velocidad vuelve a cero a medida que reduzco la velocidad. Cuando mi velocidad llega a cero, me detuve. ¡Ahora estoy usando su tarjeta de crédito en el cine! Entonces, en todo esto, aunque mi velocidad estaba disminuyendo, porque todavía era positiva, me estaba alejando de casa. Todo este tiempo, no he estado más cerca de volver a casa.

Cuando la aceleración es positiva, la velocidad aumenta.

Velocidad y aceleración

Cuando mi aceleración es positiva, mi velocidad aumenta, ¿verdad? Aquí, cuando mi velocidad está aumentando, mi aceleración será mayor que cero. Cuando mi velocidad se mantiene igual, cuando estoy en la autopista sin acelerar, mi aceleración es cero. No estoy cambiando las velocidades en absoluto; la pendiente aquí es cero. Entonces empiezo a reducir la velocidad. A medida que mi velocidad comienza a disminuir, mi aceleración es negativa. Entonces estoy estacionado y no tengo velocidad ni aceleración. Entro en la autopista y mi aceleración es positiva porque acelero para ir con el tráfico, luego apresuro el tráfico. Cuando estoy acelerando en la autopista, no estoy acelerando ni desacelerando; mi aceleración es constante. Cuando salgo de la autopista, entro en mi lugar de estacionamiento y aprieto los frenos en el cine, mi aceleración es negativa. Cuando yo’ Estoy en el cine, mi aceleración es cero. Si traté de retroceder y graficar mi posición como una función del tiempo, en cualquier lugar donde mi aceleración sea positiva, tengo algo cóncavo hacia arriba, recuerde, esta es nuestra taza, porque mi velocidad está aumentando. Cuando la aceleración es negativa (esta es mi segunda derivada de mi posición), tengo algo que es cóncavo hacia abajo, un ceño fruncido.

Distancia basada en la velocidad

Aquí, la velocidad no cambia, por lo que la distancia será constante en función del tiempo.

Tratemos de ver mi posición en función del tiempo, y veámosla en esta primera mitad. En ese momento, dejo los límites de la ciudad y estoy fuera del campo. En esta primera parte aquí, me estoy mudando de casa y mi velocidad está aumentando, así que tengo algo cóncavo. Cuando mi velocidad es constante pero positiva, mi distancia en función del tiempo aumentará a un ritmo constante (porque mi velocidad es positiva). Entonces, aquí mismo, mi pendiente es constante y tengo una línea recta. Cuando salgo de la autopista, mi velocidad comienza a disminuir. Todavía me estoy moviendo; Solo estoy disminuyendo la velocidad. En esta parte, tengo una región cóncava hacia abajo. Ahora estoy aparcando en mi lugar de estacionamiento en el centro comercial y mi velocidad no cambia en función del tiempo. Entonces mi distancia será constante en función del tiempo.

Resumen de la lección

Repasemos lo que podemos aprender de la derivada de una función. Sabemos que si f `, la derivada de una función, es positiva, nuestra función original es creciente. Si es negativo, nuestra función original está disminuyendo. Esto se debe a que f `es la pendiente de la función. Si f `es cero, su función puede estar en un máximo o un mínimo. Pero como acabamos de ver, podría estar estacionado en el centro comercial o en el cine. La derivada de f `, f ` `, es la pendiente de la derivada. Esto le informará sobre la concavidad de su función. Si f » es positivo, su función es cóncava y parece una taza. Si f » es negativo, fes cóncava hacia abajo; es un ceño fruncido. Y si f » es cero, f podría ser un punto de inflexión. Aquí es donde iríamos entre algo cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo. Con todos estos, puede obtener mucha información sobre una función con solo mirar su derivada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador