Pendiente perpendicular: definición y ejemplos

Lineas perpendiculares

Dado que vamos a hablar sobre la relación de las pendientes de las líneas perpendiculares, probablemente todos podamos estar de acuerdo en que probablemente deberíamos tener una revisión rápida de lo que son las líneas perpendiculares, ¿verdad?

Las líneas perpendiculares son dos líneas que se cruzan de tal manera que forman un ángulo recto, o un ángulo de 90 grados, entre ellas.

Lineas perpendiculares

¡Probablemente observe líneas perpendiculares todos los días sin siquiera darse cuenta! Por ejemplo, se pueden observar líneas perpendiculares en baldosas, vallas, señales de tráfico o muebles. Estos son solo algunos ejemplos. Probablemente sea una apuesta segura que si miras alrededor de la habitación en la que te encuentras ahora mismo, podrías encontrar algunas líneas perpendiculares.

Objetos con líneas perpendiculares

Ahora que recordamos qué son las líneas perpendiculares, solo hay una cosa más que revisar antes de llegar a la relación de las pendientes de estas líneas, y esa es la pendiente de una línea.

Pendiente de una línea

Cada línea tiene una pendiente . La pendiente de una línea nos dice qué tan empinada es la línea porque representa la rapidez con la que nuestra línea sube o baja. Para poner esto en términos matemáticos, la pendiente de una línea es el cambio en el valor y de una línea con respecto al cambio en el valor x de la línea . Podemos encontrar la pendiente de una línea usando dos puntos en esa línea ( x 1, y 1) y ( x 2, y 2). Queremos encontrar el cambio en y dividido por el cambio en x , por lo que usamos la fórmula ( y 2 – y 1) / ( x 2 – x 1).

Por ejemplo, tomemos un segundo para considerar la línea con la ecuación y = (1/2) x + 3. La gráfica de esta línea se muestra a continuación.

Gráfico de una línea

Observe que esta línea pasa por los puntos (0, 3) y (2, 4). Podemos usar estos dos puntos para encontrar la pendiente de la línea. Conectamos x 1 = 0, y 1 = 3, x 2 = 2 e y 2 = 4 en nuestra fórmula de pendiente para obtener (4 – 3) / (2 – 0) = 1/2. Por lo tanto, la pendiente de nuestra línea, representada por (Cambio en y ) / (Cambio en x ), es 1/2. Recuerde, el eje x de una gráfica corre horizontalmente y el eje y corre verticalmente. En consecuencia, una pendiente de 1/2 nos dice que por cada 2 unidades que nuestra línea va hacia la derecha horizontalmente, nuestra línea también sube 1 unidad.

Bien, ahora que tenemos ese poco de revisión fuera del camino, hablemos de la relación de las pendientes de las líneas perpendiculares.

Líneas perpendiculares y pendientes

Las pendientes de dos líneas perpendiculares son recíprocas negativas entre sí. Esto significa que si una línea es perpendicular a una línea que tiene pendiente m , entonces la pendiente de la línea es -1 / m . Por ejemplo, encontramos que la pendiente de la línea y = (1/2) x + 3 es 1/2. Es por eso que cualquier línea que sea perpendicular a esta línea tendría pendiente -2 / 1 = -2.

Para recordar cómo encontrar la pendiente de una línea perpendicular a una línea con una pendiente dada, simplemente recuerde el término «voltear y cambiar». Lo que esto significa es que si una línea tiene pendiente a / b , entonces para encontrar la pendiente de una línea perpendicular a esa línea, «volteamos» la fracción, intercambiando el numerador y el denominador para obtener b / a , y luego «cambiamos» el signo para obtener – b / a . Dar la vuelta y cambiar; ¡Es tan fácil como eso! Veamos un ejemplo para unir todo esto.

Un ejemplo más

Considere la línea y = (2/3) x – 4 que se muestra en el gráfico siguiente.

Gráfico de una línea

Responde las siguientes preguntas.

1.) ¿Cuál es la pendiente de la recta?

2.) ¿Cuál es la pendiente de cualquier línea perpendicular a esta línea?

3.) ¿Es la línea que pasa por los puntos (0, 3) y (-2, 0) perpendicular a esta línea?

Ahora, aquí está nuestra solución.

1.) Vemos que la recta pasa por los puntos (0, -4) y (3, -2). Reemplazamos x 1 = 0, y 1 = -4, x 2 = 3 e y 2 = -2 en nuestra fórmula de pendiente para obtener (-2 – (-4)) / (3 – 0) = 2/3. Por lo tanto, nuestra pendiente es 2/3.

2.) La pendiente de cualquier recta perpendicular a nuestra recta será igual al recíproco negativo de la pendiente de nuestra recta. Encontramos que nuestra pendiente es 2/3. Para encontrar el recíproco negativo de 2/3, «volteamos y cambiamos». Primero, volteamos el 2/3 para obtener 3/2, luego cambiamos el signo para que sea -3/2. Por tanto, la pendiente de cualquier recta perpendicular a nuestra recta es -3/2.

3.) Para determinar si la línea que pasa por (0, 3) y (-2, 0) es perpendicular a nuestra línea, simplemente encontraremos su pendiente y veremos si es el recíproco negativo de nuestra pendiente. La pendiente de la recta que pasa por (0,3) y (-2,0) es (0-3) / (-2-0) = -3 / -2 = 3/2. ¡Cerca, pero esto es positivo 3/2 y no -3/2! Por lo tanto, esta línea no es perpendicular a nuestra línea.

Resumen de la lección

Repasemos la información importante de esta lección. Para empezar, hemos revisado que las líneas perpendiculares son líneas que tienen un ángulo de 90 grados entre ellas. También hemos revisado que la pendiente de una recta que pasa por dos puntos ( x 1, y 1) y ( x 2, y 2) viene dada por la fórmula ( y 2 – y 1) / ( x 2 – x 1) con una pendiente , en términos matemáticos, es el cambio en el valor de y de una línea con respecto al cambio en el valor de x de la línea. Las pendientes de dos líneas perpendiculares son recíprocas negativas entre sí.

Para encontrar el recíproco negativo de un número, «volteamos y cambiamos» el número intercambiando el numerador y el denominador, luego cambiamos el signo. Podemos usar toda esta información para determinar si dos líneas son perpendiculares comparando sus pendientes, y podemos encontrar las pendientes de las líneas perpendiculares a una línea con una pendiente determinada. En general, tener esta información nos permite comprender mejor las líneas perpendiculares y trabajar con ellas más fácilmente.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador