Teorema de la bisectriz perpendicular: prueba y ejemplo

Teorema de la bisectriz perpendicular

Hablemos de bisectrices perpendiculares. Estas líneas son inmensamente útiles. Digamos que eres arquitecto. Una vez quise ser arquitecto. Luego me di cuenta de que era menos construir modelos geniales y más regulaciones y códigos de construcción. De todos modos, ignoremos por completo los códigos de construcción aquí.

Aquí hay algo de tierra. Estás diseñando un rascacielos. Las personas que lo contrataron hicieron dos demandas: debe ir directamente hacia arriba y debe estar en el medio del terreno. Parece bastante simple, ¿verdad?

Dime, ¿sabes lo que hiciste? Hiciste una bisectriz perpendicular. Y no es tan simple como parece. Considere la Torre Inclinada de Pisa. Tal vez biseca las parcelas de tierra. Pero definitivamente no es perpendicular. Por supuesto, ¿quién visitaría la torre perpendicular de Pisa? Estas personas definitivamente ignoraron algunos códigos de construcción.

De todos modos, las bisectrices perpendiculares vienen con su propio teorema. El teorema de la bisectriz perpendicular establece que si un punto está en la bisectriz perpendicular de un segmento, entonces es equidistante de los extremos del segmento. En otras palabras, si colgamos líneas de lavandería de cualquier piso de nuestra torre, cada piso usaría la misma longitud de línea de ropa para llegar al suelo. Está bien, pero supongo que los vecinos podrían quejarse de toda la ropa interior que cuelga fuera de nuestra torre.

Prueba

Pero ese es el teorema. ¿Podemos probarlo? Aquí hay una línea, AB , y su bisectriz perpendicular. Vamos a etiquetar un punto de la bisectriz C y el punto de que llegue AB como M .

La bisectriz perpendicular C interseca la línea AB en el punto M

Estamos tratando de demostrar que las líneas que podemos dibujar de C a A y de C a B son congruentes. Agregar esas líneas nos da más que un lugar para colgar nuestra ropa, nos da dos triángulos. Eso será importante más tarde.

Comencemos diciendo que CM es una bisectriz perpendicular de AB . Se nos ha dado eso. Y bueno, eso es todo lo que nos dan. Pero créame, eso es todo lo que necesitamos.

Bien, ahora digamos que M es el punto medio de AB . Eso es parte de la definición de una bisectriz perpendicular; sería la parte bisectriz de esa definición. CM biseca AB , por lo que el lugar donde golpea AB es el medio exacto. Eso significa que AM es congruente con MB .

¿Por qué? Bueno, eso es lo que es un punto medio: el punto que divide una línea en dos segmentos congruentes. También nos permite tener bonitos jardines simétricos a ambos lados de nuestra torre o estacionamiento. No hay nada mejor que un amplio estacionamiento.

A continuación, digamos que los ángulos CMA y CMB son ángulos rectos. Aquí no hay torre inclinada. Esta es la otra parte de la definición de bisectriz perpendicular; es la parte perpendicular, por supuesto.

Una bisectriz perpendicular crea dos ángulos rectos

Dado que son ángulos rectos, podemos afirmar que los ángulos CMA y CMB son congruentes. ¿Todos los ángulos rectos son qué? 90 grados. ¿Y cuál es la relación de un ángulo de 90 grados con otro ángulo de 90 grados? ¡Ellos son gemelos!

Entonces tenemos lados congruentes y ángulos congruentes. Todo eso vino de una declaración dada. No está mal. Y aún no hemos terminado.

Digamos que CM es congruente con CM . Archívelo bajo ‘declaraciones obvias’. Nuestra torre se iguala a sí misma. Oficialmente, es la propiedad reflexiva.

Bien, mira lo que tenemos ahora: lado-ángulo-lado. Eso no es solo un palíndromo geométrico, es un postulado: SAS. Eso significa que el triángulo CMA es congruente con el triángulo CMB .

Y si el triángulo CMA es congruente con el triángulo CMB , y las partes correspondientes de los triángulos congruentes son congruentes, que son y llamamos CPCTC, entonces CA es congruente con CB . ¡Dos líneas de lavandería iguales! ¡Esa es nuestra prueba!

Conversar

Entonces, el teorema de la bisectriz perpendicular es cierto. ¿Qué pasa con su inverso? Lo contrario de una declaración es cuando cambia la hipótesis y la conclusión. En lugar de ‘si p , entonces q ‘, lo contrario es ‘si q , entonces p ‘.

Entonces, el teorema de la bisectriz perpendicular establece que ‘si un punto está en la bisectriz perpendicular de un segmento, entonces es equidistante de los puntos finales del segmento’. Cambiemos eso para leer ‘si un punto es equidistante de los extremos de un segmento, entonces está en la bisectriz perpendicular del segmento’.

Imagina los pisos de nuestro edificio flotando en el espacio, no conectados entre sí como una torre. Extraño, de acuerdo. Pero hazlo. Para probar nuestro inverso, comencemos con un segmento. Este es el segmento AB . Vamos a añadir un punto y lo llaman X .

X es equidistante de A y B

Nuestro enunciado inverso nos dice que si la distancia de X a A es la misma que la distancia de X a B , entonces X está en la bisectriz perpendicular de AB .

Sabemos que podemos trazar una línea desde X que sea perpendicular a AB . Podríamos hacer eso desde cualquier punto. De aquí el punto Y .

Y no es equidistante de los puntos A y B

Podríamos hacer lo mismo de Y . Pero Y no es equidistante de A y B , por lo que no está en la bisectriz perpendicular. Además, ¿parece que la línea que incluye Y biseca AB ? No. Creo que Y viene de Pisa.

Pero ¿qué pasa con X ? Agreguemos las líneas XA y XB . La llamada de Let el punto de que nuestra línea de X golpea AB Z . Si estuviéramos haciendo una prueba como antes, ¿qué sabríamos?

La bisectriz perpendicular X interseca la línea AB en el punto Z

Sabemos que XA es congruente con XB ya que la hipótesis de nuestro enunciado nos dice que es equidistante de los extremos del segmento.

También sabemos que tenemos ángulos congruentes: esos ángulos rectos, XZA y XZB . Y sabemos que XZ es congruente consigo mismo. Por lo tanto, podríamos usar el teorema del cateto de hipotenusa (HL) para afirmar que estos dos triángulos son congruentes. El teorema de HL establece que si la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y el cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Eso nos permitiría afirmar que AZ es congruente con ZB . Eso significa que XZ biseca AB , por lo que X está en la bisectriz perpendicular de AB .

Resumen de la lección

En resumen, la Torre Inclinada de Pisa es realmente genial. Fui allí una vez. Fue algo asombroso. Ah, y el teorema de la bisectriz perpendicular : el teorema establece que si un punto está en la bisectriz perpendicular de un segmento, entonces es equidistante de los extremos del segmento. Demostramos que esto es cierto. También mostramos cómo el inverso del teorema es verdadero. Lo contrario establece que si un punto es equidistante de los extremos de un segmento, entonces está en la bisectriz perpendicular del segmento. Ahora creo que necesito ir a lavar la ropa.

Resultado de aprendizaje

Al final de esta lección, debería poder recordar el teorema de la bisectriz perpendicular y probar los enunciados inversos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador