Teorema del producto secante-tangente: definición y uso

Secante y tangente de un círculo

Imagina que estás trabajando con un equipo de construcción. Ya existe un camino a través de un bosque que pasa sobre un lago circular. Quiere construir otro camino a través de un bosque que se conecte a este camino, pero que no pase por el lago.

Resulta que la carretera que construirás y la carretera a la que se conectará representan características de un círculo que tienen su propio nombre. El camino / puente que ya existe se llama secante del lago circular, y el camino que vas a construir se llama tangente del lago circular.

En general, una secante de un círculo es una línea que pasa por dos puntos cualesquiera en el borde del círculo, y una tangente de un círculo es una línea que solo toca un punto en el borde del círculo. Observe cómo la carretera que ya existe se cruza con el lago circular en dos puntos a lo largo de su costa (el inicio y el final de la parte del puente de la carretera), y la carretera que va a construir solo toca el lago circular en un punto.

Con base en esto, llamamos a la carretera que ya existe un segmento secante del lago circular, y llamamos a la carretera en la que construirás un segmento tangente del lago circular. Además, llamamos a la parte de la carretera que ya existe fuera del lago el segmento secante externo .

Teorema del producto de la tangente secante

Ahora para su enigma: necesita saber cuánto tiempo será el camino que está construyendo para saber cuántos suministros necesitará. Sin embargo, no se puede medir, porque es a través de un bosque, por lo que hay árboles y cosas así en el camino.

Puede medir la carretera que ya existe y encuentra que la parte del puente de la carretera es de 5 kilómetros y la parte de la carretera desde el puente hasta donde estará la nueva carretera es de 4 kilómetros.

Oh chico, ¿cómo vamos a encontrar la distancia de este camino? ¡Nunca temas! ¡Las matemáticas están aquí! Afortunadamente, en matemáticas, tenemos un teorema llamado teorema del producto secante-tangente , que establece que para cualquier segmento secante y segmento tangente de un círculo que se encuentran en un punto final común fuera del círculo, debe darse el caso de que

• (Longitud de todo el segmento secante) (Longitud del segmento secante externo) = (Longitud del segmento tangente) 2

Es decir, el producto de la longitud de todo el segmento secante y la longitud del segmento externo es igual a la longitud del segmento tangente al cuadrado.

¡Esto es asombroso! ¡Podemos usar esto para encontrar la longitud de la carretera que estará construyendo! Tenemos que la longitud del puente es de 5 kilómetros y la longitud de la carretera existente fuera del lago es de 4 kilómetros.

Por lo tanto, la longitud de todo el segmento secante es 5 + 4 = 9 kilómetros. Si dejamos que la longitud de la carretera que va a construir sea x , entonces el teorema del producto secante-tangente da:

(9) (4) = x 2

Simplificando, obtenemos lo siguiente:

Conseguimos que la distancia de la carretera que estarás construyendo será de 6 kilómetros. Ahora tiene toda la información que necesita para pedir suministros. ¡Tu jefe va a estar tan feliz!

Otro ejemplo

Consideremos un ejemplo más general solo para asegurarnos de que realmente conocemos esto.

Tenemos un escenario similar, pero esta vez, la parte desconocida es diferente. Queremos saber la longitud del segmento secante que está dentro del círculo. Tenemos que el segmento tangente tiene una longitud de 20 metros y el segmento secante externo tiene una longitud de 16 metros. Una vez más, podemos usar nuestro teorema del producto secante-tangente sustituyendo los valores de manera apropiada y luego resolviendo la incógnita.

• ( y + 16) 16 = 20 2

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es resolver y .

Obtenemos que la longitud del segmento secante dentro del círculo es de 9 metros. ¡Guauu! ¿Es útil ese teorema del producto secante-tangente?

Resumen de la lección

Una secante de un círculo es una línea que pasa por dos puntos cualesquiera en el borde del círculo, y una tangente de un círculo es una línea que solo toca un punto en el borde del círculo.

El teorema del producto secante-tangente establece que para cualquier segmento secante y segmento tangente de un círculo que se encuentran en un punto final común fuera del círculo, debe darse el caso de que:

• (Longitud de todo el segmento secante) (Longitud del segmento secante externo) = (Longitud del segmento tangente) 2

Este teorema demuestra ser muy útil en aplicaciones del mundo real en física, astronomía, construcción y muchas más, al permitirnos encontrar diferentes medidas y características de un círculo y sus segmentos. ¡Este teorema es definitivamente uno para memorizar para uso futuro!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador