Uso de matrices para modelar traducciones

Traducciones

¿Ha representado alguna vez un rectángulo en el plano de coordenadas? ¿Importa dónde están los vértices del rectángulo? Si cambiamos las coordenadas del rectángulo, ¿sigue siendo el mismo rectángulo? Podemos tomar un rectángulo y graficarlo en el plano de coordenadas trazando los vértices. Si desplazamos el rectángulo hacia la izquierda o hacia la derecha y hacia arriba o hacia abajo, todavía tendremos el mismo tamaño de rectángulo. Lo único que cambia cuando lo cambiamos es la ubicación de los vértices.

Una traslación es un cambio en la ubicación de todos los puntos de un objeto en el plano de coordenadas. Podemos trasladar objetos hacia la izquierda o hacia la derecha sumando o restando de los valores de x. Podemos trasladar un objeto hacia arriba o hacia abajo sumando o restando de los valores de y.

Supongamos que tenemos el rectángulo con vértices en A (0,0), B (0, 3), C (4, 3) y D (4, 0), y queremos trasladar tres unidades a la izquierda y dos unidades hacia arriba. . Vamos a encontrar las coordenadas de la nueva imagen, A’B’C’D ‘usando una matriz.

Matrices de coordenadas y traducción

Una matriz es una matriz rectangular de números que representa algo. Es una forma de organizar los datos. Primero, colocaremos las coordenadas en una matriz. Esto se llama matriz de coordenadas .

Los valores de x se escriben en la primera fila y los valores de y se escriben en la segunda fila. Cada punto representa una columna diferente.

Ahora escribiremos la matriz de traducción . Esta matriz tendrá el mismo tamaño que la matriz de coordenadas, con cuatro columnas y dos filas. Dado que los valores de x representan la primera fila, las cuatro columnas tendrán -3 en la primera fila. Esto se debe a que necesitamos restar 3 de cada valor de x para mover el rectángulo hacia la izquierda. Los valores de y representan la segunda fila, por lo que las cuatro columnas tendrán un 2. Esto se debe a que necesitamos sumar dos a todos los valores de y para desplazar el rectángulo hacia arriba dos unidades.

Para realizar la traducción, simplemente sumamos las matrices. Para sumar, agregamos los elementos correspondientes en cada matriz.

La matriz resultante tiene las coordenadas de la nueva imagen.

Podemos graficar ambos rectángulos en el plano de coordenadas.

¿Notas que ambos rectángulos son iguales? La única diferencia es la ubicación de los vértices. El rectángulo verde se ha movido tres unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba.

Otro ejemplo

Ahora, veamos otro objeto. Suponga que tiene el triángulo con vértices A (2, 1), B (2, 6) y C (6, 1). Utilice matrices para encontrar las coordenadas de la imagen si queremos trasladar el triángulo 7 unidades hacia la izquierda y 8 unidades hacia abajo.

Primero, podemos poner las coordenadas del triángulo en una matriz de coordenadas.

En segundo lugar, podemos escribir la regla de traducción en una matriz. La primera fila será -7 porque necesitamos restar 7 de cada valor de x para mover el triángulo hacia la izquierda. La segunda fila será -8 porque necesitamos restar 8 de todos los valores de y para mover el triángulo hacia abajo.

A continuación, sumaremos las dos matrices para obtener nuestras nuevas coordenadas.

Finalmente, graficaremos ambos triángulos en el plano de coordenadas.

Estos dos triángulos tienen el mismo tamaño y forma. El triángulo verde se ha desplazado 7 unidades hacia la izquierda y hacia abajo 8 unidades.

Resumen de la lección

Una traslación es un cambio en la ubicación de un objeto en el plano de coordenadas. El objeto se puede mover en cuatro direcciones:

• Para mover un objeto a la derecha, agregamos al valor x
• Para mover un objeto hacia la izquierda, restamos del valor x
• Para mover un objeto hacia arriba, agregamos al valor y
• Para desplazar un objeto hacia abajo, restamos del valor y

Podemos usar matrices para encontrar las coordenadas de la traslación. Comenzamos con la matriz de coordenadas de nuestra figura original y colocamos nuestros valores x en la primera fila y los valores y en la segunda fila. Cada punto representa una columna separada de la matriz.

La matriz de traducción tiene el mismo número en todas las columnas de la primera fila, este es el número que se suma o resta del valor x. La matriz de traducción también tiene el mismo número en todas las columnas de la segunda fila, que es el número que se suma o resta del valor y.

Para encontrar las coordenadas de la figura trasladada, agregamos la matriz de traslación a la matriz de coordenadas. Luego graficamos tanto la figura original como la nueva imagen.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador