El teorema de Pitágoras: práctica y aplicación

Introducción

Jessica tiene un jardín cuadrado. Para facilitar el riego de sus plantas, le gustaría crear un camino diagonal que conecte las esquinas opuestas. Si un lado de su jardín mide 13 pies de largo, ¿cuál será la longitud de su camino diagonal?

Este escenario presenta un ejemplo perfecto de geometría en la vida real. Dado que el jardín tiene la forma de un cuadrado, podremos usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la trayectoria diagonal. Echemos un vistazo más de cerca a este teorema y cómo se usa para que podamos calcular la solución a este problema.

El teorema y su propósito

Escrito por el matemático griego Pitágoras, el teorema de Pitágoras establece que en los triángulos rectángulos, la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa . En términos más claros, si cuadras ambos catetos y luego sumas estos números, terminarás con el mismo valor que la hipotenusa al cuadrado. Como fórmula, este teorema se escribe como a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde a y b representan los dos catetos del triángulo y c representa la hipotenusa.

Al etiquetar cualquier triángulo rectángulo con estas variables, es importante saber que una y b se puede escribir en cualquiera de las piernas. Sin embargo, c debe escribirse en la hipotenusa, que es el lado más largo y opuesto al ángulo recto.

El propósito del teorema de Pitágoras es hacer posible encontrar la longitud de cualquier lado faltante de un triángulo rectángulo. Para que el teorema sea utilizable, se debe conocer el valor de los otros dos lados.

Echemos un vistazo a algunos problemas básicos.

Conceptos básicos del teorema de Pitágoras

En nuestro primer triángulo, un cateto tiene una longitud de 4 centímetros y el segundo cateto tiene una longitud de 7 centímetros. Encontremos la longitud de la hipotenusa. Ya que tengo el valor de las dos patas, que están representados por una y b , se lo haremos un = 4 y b = 7.

Ahora estamos listos para incluir esta información en la fórmula. Una vez que lo hacemos, obtenemos 4 ^ 2 + 7 ^ 2 = c ^ 2. Después de simplificar, terminamos con 16 + 49 = c ^ 2, y cuando combinamos nuestros términos semejantes, tenemos 65 = c ^ 2. Para nuestro último paso, sacaremos la raíz cuadrada de ambos lados para obtener una respuesta final de c = 8.06. Por tanto, podemos ver que la longitud de la diagonal es de 8,06 centímetros.

En nuestro próximo triángulo, la medida de un cateto es de 12 pulgadas y la medida de la hipotenusa es de 20 pulgadas. Para este triángulo, tenemos el valor de la hipotenusa, pero debemos encontrar la longitud del cateto faltante. Por tanto, dejaremos a = 12 y c = 20.

Al sustituir esta información en la fórmula, tenemos 12 ^ 2 + b ^ 2 = 20 ^ 2. Cuando simplificamos, obtenemos 144 + b ^ 2 = 400. En este punto, debemos restar 144 de ambos lados para obtener b ^ 2 = 256. Una vez que sacamos la raíz cuadrada de ambos lados, vemos que b , el pierna en nuestro triángulo, tiene un valor de 16 pulgadas.

¿Le llamó la atención algo sobre los números del último ejemplo? Observa que todas las longitudes de los lados son números enteros , no fracciones ni decimales. Esto significa que las longitudes de los lados de este triángulo son un triple de Pitágoras , que se define como un conjunto de números enteros distintos de cero que satisfacen el teorema de Pitágoras.

Algunos ejemplos más de triples pitagóricos son 3, 4, 5 y 28, 45, 53. Si inserta estos números en el teorema de Pitágoras, verá que 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2 y 28 ^ 2 + 45 ^ 2 = 53 ^ 2.

Teorema de Pitágoras en la vida cotidiana

Ahora que comprendemos el teorema de Pitágoras, apliquémoslo a algunos ejemplos cotidianos, comenzando con el jardín de Jessica desde el comienzo de la lección.

Repasemos el problema nuevamente. Jessica tiene un jardín cuadrado. Para facilitar el riego de sus plantas, le gustaría crear un camino diagonal que conecte las esquinas opuestas. Si un lado de su jardín mide 13 pies de largo, ¿cuál será la longitud de su camino diagonal?

Para esta situación, definitivamente deberíamos usar el teorema de Pitágoras. Sabemos que en un cuadrado, los cuatro ángulos miden 90 grados y los cuatro lados son congruentes. Entonces, si un lado tiene una longitud de 13 pies, entonces todos los otros lados tienen una longitud de 13 pies. Al tomar la mitad de este cuadrado, la diagonal se convierte en hipotenusa y tenemos un triángulo rectángulo con ambos lados iguales a 13 pies.

Ahora estamos listos para ingresar nuestra información para encontrar la longitud de la hipotenusa. Cuando lo hagamos, veremos que 13 ^ 2 + 13 ^ 2 = c ^ 2. Al simplificar y combinar términos semejantes, terminamos con 338 = c ^ 2 y c = 18.38 como nuestra respuesta final, que será la longitud de la trayectoria diagonal de Jessica.

Hagamos otro. Elizabeth necesita reparar su techo. Apoya una escalera de 21 pies contra el costado de su casa de 20 pies. Si la parte superior de la escalera llega a la parte superior de su casa, ¿a qué distancia de su casa está la base de la escalera?

En este problema, todavía estamos trabajando con un triángulo rectángulo. La escalera es la hipotenusa, mientras que la altura de la casa y el suelo entre la casa y la escalera son los catetos de este triángulo rectángulo.

Usando la información dada, nuestra ecuación inicial es 20 ^ 2 + b ^ 2 = 21 ^ 2. Simplificar nos lleva a 400 + b ^ 2 = 441. De aquí, restamos 400 de ambos lados para obtener b ^ 2 = 41, de lo cual vemos que b = 6.40. Por lo tanto, podemos concluir que la base de la escalera está a 6.40 pies de distancia de la casa.

Resumen de la lección

En resumen, el teorema de Pitágoras , que solo se puede usar con triángulos rectángulos, es un teorema muy importante que nos permite encontrar la longitud de un lado faltante en un triángulo. El teorema se interpreta como la fórmula a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Las patas están representados por una y b y pueden marcarse de forma intercambiable, pero la hipotenusa deben ser etiquetados c . Para poder utilizar este teorema, se deben conocer dos lados del triángulo rectángulo.

Resultado de aprendizaje

Después de terminar este video, debes entender cómo usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud faltante de un triángulo rectángulo cuando se dan dos lados.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador